(UF-MG) Há várias regras para se determinar, com base na dose recomendada para adultos, a dose de um medicamento a ser ministrada a crianças.
Analise estas duas fórmulas:
Regra de Young: c=xx+12 a
Regra de Cowling: c=x+124 a
em que:
  • x é a idade da criança, em anos;
  • a é a dose do medicamento, em cm^3, para adultos; e
  • c é a dose do medicamento, em cm³, para crianças.
Considerando essas informações,
I. Determine os valores de x para os quais as duas regras levam a doses iguais para crianças.
II. Sabendo que as duas regras são aplicadas no cálculo de doses para crianças entre 2 e 13 anos de idade, determine os valores de x para os quais a regra de Young leva a uma dose maior que a regra de Cowling.
III. Considerado o intervalo de 2 a 13 anos de idade, a diferença entre os valores dados por essas duas regras é máxima quando a criança tem, aproximadamente, 5 anos de idade. Determine a porcentagem da dosagem menor em relação à dosagem maior para a idade de 5 anos.

Passo 1

O enunciado nos dá duas regras para calcular a dose infantil c a partir da dose adulta a em cm^3: a Regra de Young
c = xx+12,a
e a Regra de Cowling
c = x+124,a
em que x é a idade da criança em anos. Precisamos (I) achar os valores de x para os quais as duas doses são iguais, (II) determinar para que idades em [2,13] a Regra de Young dá dose maior que a de Cowling, e (III) calcular, em x=5, a porcentagem da dosagem menor em relação à maior.

Passo 2

Para encontrar x tal que as duas regras dão a mesma dose, igualamos os coeficientes de a:
xx+12 = x+124
Multiplicando em cruz:
24x = (x+12)(x+1) = x^2 + 13x + 12,
x^2 - 11x + 12 = 0
Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
x = 11 pm raiz11^2 - 4cdot1cdot122 = 11 pm raiz732
Logo, os dois valores de x são
x = 11 - raiz732approx1,228 e x = 11 + raiz732approx9,772

Passo 3

Para saber quando a Regra de Young dá dose maior que a de Cowling, consideramos a diferença
xx+12 - x+124 = 24x - (x+12)(x+1)24(x+12) = -x^2 - 11x +1224(x+12)
O denominador é positivo para x>-12. Logo o sinal da diferença é o oposto do sinal de (x-1,228)(x-9,772). Isso é positivo quando x está entre as raízes, isto é,
1,228 < x < 9,772
Como só consideramos 2<= x<=13, concluímos que a Regra de Young fornece dose maior que Cowling para
2 < x < 9,772

Passo 4

No intervalo de 2 a 13 anos, a diferença é máxima em xapprox5. Para x=5, as doses são
cY = 55+12,a = 517,a, cC = 5+124,a = 624,a = 14,a
A menor é cC e a maior é cY. A porcentagem da menor em relação à maior vale
cCcYtimes100% = tfrac14tfrac517times100% = 1720times100% =85%

Resposta

I. x=dfrac11pmraiz732approx 1,228 ou 9,772.
II. Para 2 < x < 9,772 a Regra de Young dá dose maior que Cowling.
III. A menor dose representa 85% da maior em x=5 anos.

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