Verifique
h_{n}^{(1)}(x) h_{n}^{(2)^{\prime}}(x)-h_{n}^{(1)^{\prime}}(x) h_{n}^{(2)}(x)=-\frac{2 i}{x^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar que o chamado Wronskiano das funções de Hankel esféricas de primeira e segunda espécie satisfaz
h_{n}^{(1)}(x)\,h_{n}^{(2)\prime}(x)\;-\;h_{n}^{(1)\prime}(x)\,h_{n}^{(2)}(x)\;=\;-\,\frac{2\,i}{x^{2}}.
O conteúdo que vamos usar é
  1. a definição de h_{n}^{(1)} e h_{n}^{(2)} em termos das funções esféricas de Bessel j_{n} e y_{n},
  2. o Wronskiano conhecido de j_{n} e y_{n}.

Passo 2

Lembramos as definições lineares:
h_{n}^{(1)}(x)=j_{n}(x)+i\,y_{n}(x), \quad h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-i\,y_{n}(x).
Aqui j_{n} e y_{n} são as esféricas de Bessel de primeira e segunda espécie, e i é a unidade imaginária.

Passo 3

É sabido que o Wronskiano de j_{n} e y_{n} é
W\{j_{n},y_{n}\}(x) = j_{n}(x)\,y_{n}'(x)\;-\;j_{n}'(x)\,y_{n}(x) =\frac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Para calcular
W\{h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}\}(x) =h_{n}^{(1)}(x)\,h_{n}^{(2)\prime}(x) -\;h_{n}^{(1)\prime}(x)\,h_{n}^{(2)}(x),
substituímos as definições:
\bigl(j_{n}+i\,y_{n}\bigr) \bigl(j_{n}'-i\,y_{n}'\bigr) -\bigl(j_{n}'+i\,y_{n}'\bigr) \bigl(j_{n}-i\,y_{n}\bigr).
Expandindo e agrupando termos em j_{n}y_{n}' e y_{n}j_{n}' resulta
2\,i\bigl(y_{n}j_{n}'-j_{n}y_{n}'\bigr) =2\,i\bigl(-1\bigr)\frac{1}{x^{2}} =-\frac{2\,i}{x^{2}}.

Resposta

h_{n}^{(1)}(x)\,h_{n}^{(2)\prime}(x)\;-\;h_{n}^{(1)\prime}(x)\,h_{n}^{(2)}(x) =-\frac{2\,i}{x^{2}}.

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