VEST-RIO - Numa comunidade, 90 % das pessoas são a favor do ensino público e gratuito, 80 % são parlamentares e 70 % são a favor da pena de morte para crimes hediondos.
a) Entre que valores pode variar o percentual das pessoas que são favoráveis do ensino público gratuito e também do parlamentarismo?
b) Entre que valores pode variar o percentual das pessoas que são simultaneamente a favor dos três itens?

Passo 1

O enunciado dá três “eventos” numa comunidade:
A= ser a favor do ensino público gratuito, com p(A)=90%.
B= ser parlamentar, com p(B)=80%.
C= ser a favor da pena de morte, com p(C)=70%.
Ele pede (a) os limites possíveis de p(Acap B) e (b) os limites possíveis de p(Acap Bcap C). Vamos usar as desigualdades de Bonferroni (princípio da inclusão-exclusão simplificado).

Passo 2

Para dois eventos A e B vale a desigualdade
max0,;p(A)+p(B)-100%;<=;p(Acap B);<=;minp(A),,p(B),
pois a soma das probabilidades não pode exceder 100% e a interseção não pode ser maior que cada um dos conjuntos.

Passo 3

Aplicando a p(A)=90% e p(B)=80% obtemos
p(Acap B);>=;90%+80%-100%=70%,
p(Acap B);<=;min90%,80%=80%
Logo, em (a) o percentual varia entre 70% e 80%.

Passo 4

Para três eventos A, B, C usamos
max0,;p(A)+p(B)+p(C)-200%;<=;p(Acap Bcap C);<=;minp(A),,p(B),,p(C)
O limite inferior vem da versão de Bonferroni de ordem 3 e o superior do fato de que a interseção tripla não pode ultrapassar o menor dos três.

Passo 5

Substituindo p(A)=90%, p(B)=80%, p(C)=70% temos
p(Acap Bcap C);>=;90%+80%+70%-200%=40%,
p(Acap Bcap C);<=;min90%,80%,70%=70%
Portanto, em (b) esse percentual varia entre 40% e 70%.

Resposta

a) Entre 70% e 80%.
b) Entre 40% e 70%.

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