O volume de uma esfera é função da área de sua superfície? Ache uma fórmula para essa função.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o volume de uma esfera em função da área de sua superfície. As fórmulas conhecidas são
S = 4pi r^2
para a área e
V = tfrac43pi r^3
para o volume. Vamos isolar o raio r em termos de S e depois substituir na fórmula de V.

Passo 2

Da relação
S = 4pi r^2
isolamos r. Como r^2 = tfracS4pi, segue que
r = raizS4pi

Passo 3

Substituímos r = raiztfracS4pi em
V = 43pi r^3,
obtendo
V = 43pi ,gl(raizS4pigr)^3

Passo 4

Para simplificar note que
gl(raizS4pigr)^3 = S^3/2(4pi)^3/2
Assim
V = 43pi ,S^3/2(4pi)^3/2 = 4pi3,(4pi)^3/2,S^3/2 = 43cdot 4^3/2,pi^1/2,S^3/2 = 16raizpi,S^3/2

Resposta

A fórmula que relaciona o volume V com a área de superfície S é
V(S) = 16raizpi,S^3/2

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