(UF-MT) O volume de um tanque reto, de base retangular, com 1 metro de profundidade deve ser . Para cada metro quadrado de revestimento a ser colocado no fundo do tanque, um pedreiro cobra R$30,00, e, para cada metro quadrado nas paredes laterais, ele cobra R$ 40,00. Nessas condições, o custo mínimo do revestimento do tanque, em R$, será:
Considere
a) 788,00
b) 988,00
c) 588,00
d) 688,00
e) 1088,00

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de base retangular de profundidade m, cujo volume deve ser , . Vamos escolher as dimensões da base como m e m, de modo que . O custo do revestimento é R$ por no fundo e R$ por nas paredes laterais. O objetivo é encontrar e que minimizem esse custo.

Passo 2

Pela condição de volume,
xycdot1=8 Longrightarrow xy=8 Longrightarrow y=8x

Passo 3

A área do fundo é xy=8 m^2 e a área total das quatro paredes é
2(xcdot1)+2(ycdot1)=2x+2y
Portanto o custo total F (em reais) é
F(x,y) =30cdot(xy)+40cdotl(2x+2yr) =30cdot8+80,(x+y) =240+80,(x+y)
Usando y=8/x, definimos
F(x)=240+80l(x+8xr)

Passo 4

Para minimizar F(x) em x>0, calculamos a derivada:
F'(x) =80l(1-8x^2r)
Igualando a zero,
1-8x^2=0 Longrightarrow x^2=8 Longrightarrow x=raiz8=2raiz2
Então
y=8x=82raiz2=2raiz2

Passo 5

O custo mínimo é
Fmin =240+80,(x+y) =240+80l(2raiz2+2raiz2r) =240+80cdot4raiz2 =240+320raiz2
Usando raiz2=1,4,
Fmin=240+320times1,4=240+448=688

Resposta

(d) 688,00

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