Se yx-z=x+yz=xy, onde x, y e z são inteiros positivos e diferentes, então xy é igual a:
a) 12
b) 35
c) 23
d) 53
e) 2

Passo 1

O enunciado diz que as três frações
yx - z, x + yz, xy
são iguais. O conteúdo aqui é resolver um sistema de proporções usando um mesmo valor comum k. Vamos definir
k = xy = yx - z = x + yz
e encontrar k, que é justamente o valor de xy.

Passo 2

Da definição k = xy segue
x = k,y
Também, usando k = yx - z, temos
y = k,(x - z) Longrightarrow y = kx - k,z

Passo 3

Substituindo x = k,y em y = kx - k,z, obtemos
y = k,(k,y) - k,z Longrightarrow y = k^2y - k,z Longrightarrow k,z = (k^2 - 1),y Longrightarrow z = (k^2 - 1),yk

Passo 4

Por outro lado, de k = x+yz vem
x + y = k,z Longrightarrow z = x + yk = k,y + yk = (k + 1),yk
Igualando as duas expressões para z:
(k^2 - 1),yk = (k + 1),yk Longrightarrow k^2 - 1 = k + 1 Longrightarrow k^2 - k - 2 = 0 Longrightarrow (k - 2)(k + 1) = 0
Como x,y,z são positivos, k>0, logo k = 2.

Resposta

A razão xy é 2, alternativa (e).

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