O calor específico da água em função da temperatura em
é dado pela tabela abaixo. Usando o polinômio interpolador de Newton, calcule aproximadamente o calor específico para t=37.5.
t
302
c
0.99826
0.99818
0.99828
0.99890
t | 302 |
|
|
|
c | 0.99826 | 0.99818 | 0.99828 | 0.99890 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o calor específico da água em função da temperatura, que está tabulado para certas temperaturas em graus Celsius. A gente precisa usar o polinômio interpolador de Newton para estimar o calor específico quando a temperatura for 37,5°C. Para isso, vamos precisar entender como construir esse polinômio e aplicar as fórmulas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados da tabela para facilitar a interpolação. Temos as temperaturas $ t $ e os respectivos calores específicos $ c $:
Note que ajustei a primeira temperatura para 30°C, supondo que o “302” era um erro de digitação.
Passo 3
O próximo passo é montar a tabela das diferenças divididas de Newton. As diferenças divididas ajudam a construir o polinômio interpolador. Vamos calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem.
Primeira ordem ($ f[t_i, t_{i+1}] $):
Vamos calcular:
- $ f[30,35] = \frac{0,99818 - 0,99826}{35 - 30} = \frac{-0,00008}{5} = -0,000016 $
- $ f[35,40] = \frac{0,99828 - 0,99818}{40 - 35} = \frac{0,00010}{5} = 0,00002 $
- $ f[40,45] = \frac{0,99890 - 0,99828}{45 - 40} = \frac{0,00062}{5} = 0,000124 $
Passo 4
Agora, vamos calcular as diferenças de segunda ordem ($ f[t_i, t_{i+1}, t_{i+2}] $) usando as diferenças de primeira ordem:
Calculando:
- $ f[30,35,40] = \frac{0,00002 - (-0,000016)}{40 - 30} = \frac{0,000036}{10} = 0,0000036 $
- $ f[35,40,45] = \frac{0,000124 - 0,00002}{45 - 35} = \frac{0,000104}{10} = 0,0000104 $
Passo 5
Vamos agora calcular a diferença de terceira ordem ($ f[t_i, t_{i+1}, t_{i+2}, t_{i+3}] $):
Calculando:
- $ f[30,35,40,45] = \frac{0,0000104 - 0,0000036}{45 - 30} = \frac{0,0000068}{15} = 0,0000004533 $
Passo 6
Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Queremos encontrar $ c(37,5) $. Então, substituímos $ x = 37,5 $ na equação do polinômio:
Calculando cada termo:
- Primeiro termo: $ 0,99826 $
- Segundo termo: $ -0,000016 \times 7,5 = -0,00012 $
- Terceiro termo: $ 0,0000036 \times 7,5 \times 2,5 = 0,0000036 \times 18,75 = 0,0000675 $
- Quarto termo: $ 0,0000004533 \times 7,5 \times 2,5 \times (-2,5) = 0,0000004533 \times (-46,875) = -0,0000213 $
Passo 8
Agora, somamos todos os termos para encontrar $ P(37,5) $:
Resposta
O calor específico aproximado da água a 37,5°C é $ c(37,5) \approx 0,99819 $.