O calor específico da água em função da temperatura em ^circ C é dado pela tabela abaixo. Usando o polinômio interpolador de Newton, calcule aproximadamente o calor específico para t=37.5.
t 302 |c|c|c|c|c| hline t & 302 & $35^circ$ & $40^circ$ & $45^circ$ hline c & 0.99826 & 0.99818 & 0.99828 & 0.99890 hline
c 0.99826 0.99818 0.99828 0.99890

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o calor específico da água em função da temperatura, que está tabulado para certas temperaturas em graus Celsius. A gente precisa usar o polinômio interpolador de Newton para estimar o calor específico quando a temperatura for 37,5°C. Para isso, vamos precisar entender como construir esse polinômio e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela para facilitar a interpolação. Temos as temperaturas $ t $ e os respectivos calores específicos $ c $:
t
Note que ajustei a primeira temperatura para 30°C, supondo que o “302” era um erro de digitação.

Passo 3

O próximo passo é montar a tabela das diferenças divididas de Newton. As diferenças divididas ajudam a construir o polinômio interpolador. Vamos calcular as diferenças de primeira, segunda e terceira ordem.
Primeira ordem ($ f[t_i, t_{i+1}] $):
f[ti, ti+1]
Vamos calcular:
  • $ f[30,35] = \frac{0,99818 - 0,99826}{35 - 30} = \frac{-0,00008}{5} = -0,000016 $
  • $ f[35,40] = \frac{0,99828 - 0,99818}{40 - 35} = \frac{0,00010}{5} = 0,00002 $
  • $ f[40,45] = \frac{0,99890 - 0,99828}{45 - 40} = \frac{0,00062}{5} = 0,000124 $

Passo 4

Agora, vamos calcular as diferenças de segunda ordem ($ f[t_i, t_{i+1}, t_{i+2}] $) usando as diferenças de primeira ordem:
f[ti, ti+1, ti+2]
Calculando:
  • $ f[30,35,40] = \frac{0,00002 - (-0,000016)}{40 - 30} = \frac{0,000036}{10} = 0,0000036 $
  • $ f[35,40,45] = \frac{0,000124 - 0,00002}{45 - 35} = \frac{0,000104}{10} = 0,0000104 $

Passo 5

Vamos agora calcular a diferença de terceira ordem ($ f[t_i, t_{i+1}, t_{i+2}, t_{i+3}] $):
f[ti, ti+1, ti+2, ti+3]
Calculando:
  • $ f[30,35,40,45] = \frac{0,0000104 - 0,0000036}{45 - 30} = \frac{0,0000068}{15} = 0,0000004533 $

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P(x) = f(t0) + f[t0,t1](x - t0) + f[t0,t1,t2](x - t0)(x - t1) + f[t0,t1,t2,t3](x - t0)(x - t1)(x - t2)
Substituindo os valores:
P(x) = 0,99826 + (-0,000016)(x - 30) + 0,0000036(x - 30)(x - 35) + 0,0000004533(x - 30)(x - 35)(x - 40)

Passo 7

Queremos encontrar $ c(37,5) $. Então, substituímos $ x = 37,5 $ na equação do polinômio:
c(37,5)
Calculando cada termo:
  • Primeiro termo: $ 0,99826 $
  • Segundo termo: $ -0,000016 \times 7,5 = -0,00012 $
  • Terceiro termo: $ 0,0000036 \times 7,5 \times 2,5 = 0,0000036 \times 18,75 = 0,0000675 $
  • Quarto termo: $ 0,0000004533 \times 7,5 \times 2,5 \times (-2,5) = 0,0000004533 \times (-46,875) = -0,0000213 $

Passo 8

Agora, somamos todos os termos para encontrar $ P(37,5) $:
P(37,5)
P(37,5) = 0,99826 - 0,00012 + 0,0000675 - 0,0000213 = 0,99826 - 0,00012 = 0,99814
0,99814 + 0,0000675 = 0,9982075

Resposta

O calor específico aproximado da água a 37,5°C é $ c(37,5) \approx 0,99819 $.

Exercícios relacionados