Seja a função
tabelada abaixo. Usando o polinômio interpolador de Lagrange, avalie
e um limitante superior para o erro.
0
0.5
1.1
3
3.53
4.46
|
0 | 0.5 | 1.1 |
|
3 | 3.53 | 4.46 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o polinômio interpolador de Lagrange para encontrar o valor de $ f(0.6) $ baseado na tabela fornecida. Além disso, também precisamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Lagrange e como estimar o erro associado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Basicamente, ele é um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados da tabela. No nosso caso, temos três pontos:
,
e
. Como temos três pontos, o polinômio será de grau 2.
Passo 3
A fórmula geral do polinômio de Lagrange para três pontos é:
Vamos identificar nossos pontos:
- $ x_0 = 0 $, $ f(x_0) = 3 $
- $ x_1 = 0.5 $, $ f(x_1) = 3.53 $
- $ x_2 = 1.1 $, $ f(x_2) = 4.46 $
Passo 4
Vamos calcular cada termo do polinômio:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, montamos o polinômio $ P(x) $ substituindo os valores:
Substituindo os $ L_i(x) $:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 7
Agora, somamos todos os termos:
Somando os coeficientes:
- $ x^2: 5.4545 - 11.7667 + 6.7576 = 0.4454 $
- $ x: -8.7273 + 12.9333 - 3.3939 = 0.8121 $
- Termo constante: 3
Então,
Passo 8
Agora que temos o polinômio interpolador, vamos avaliar $ P(0.6) $:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 9
Agora, vamos calcular o limite superior para o erro. A fórmula do erro para o polinômio de Lagrange é:
Onde:
- $ M $ é a máxima derivada de ordem $ n+1 $ da função $ f $ no intervalo.
- $ n $ é o grau do polinômio (no nosso caso, 2).
- $ x_0, x_1, x_2 $ são os pontos usados na interpolação.
Então,
Passo 10
Vamos identificar $ M $. Sabemos que $ f(x) = e^{x} + \cos(x) + 1 $. A terceira derivada de $ f $ é:
Para encontrar $ M $, encontramos o máximo valor de $ f’’’(x) $ no intervalo
.
Sabemos que $ e^{x} $ cresce e $ -\cos(x) $ varia entre -1 e 1. Então, o máximo de $ f’’’(x) $ será aproximadamente $ e^{1.1} + 1 $.
Calculando:
Passo 11
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Calculando:
Então,
Resposta
Usando o polinômio interpolador de Lagrange, $ f(0.6) \approx 3.6476 $ e o limite superior para o erro é aproximadamente $ 0.0200 $.