Seja a função f(x)=e^x+cos (x)+1 tabelada abaixo. Usando o polinômio interpolador de Lagrange, avalie f(0.6) e um limitante superior para o erro.
|c|c|c|c| hline$x$ & 0 & 0.5 & 1.1 hline$f(x)$ & 3 & 3.53 & 4.46 hline 0 0.5 1.1
3 3.53 4.46

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente usar o polinômio interpolador de Lagrange para encontrar o valor de $ f(0.6) $ baseado na tabela fornecida. Além disso, também precisamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Lagrange e como estimar o erro associado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio interpolador de Lagrange. Basicamente, ele é um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados da tabela. No nosso caso, temos três pontos: (0, 3), (0.5, 3.53) e (1.1, 4.46). Como temos três pontos, o polinômio será de grau 2.

Passo 3

A fórmula geral do polinômio de Lagrange para três pontos é:
P(x) = f(x0) cdot (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) + f(x1) cdot (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) + f(x2) cdot (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1)
Vamos identificar nossos pontos:
  • $ x_0 = 0 $, $ f(x_0) = 3 $
  • $ x_1 = 0.5 $, $ f(x_1) = 3.53 $
  • $ x_2 = 1.1 $, $ f(x_2) = 4.46 $

Passo 4

Vamos calcular cada termo do polinômio:
Primeiro termo:
L0(x) = (x - 0.5)(x - 1.1)(0 - 0.5)(0 - 1.1) = (x - 0.5)(x - 1.1)( -0.5)(-1.1) = (x - 0.5)(x - 1.1)0.55
Segundo termo:
L1(x) = (x - 0)(x - 1.1)(0.5 - 0)(0.5 - 1.1) = x(x - 1.1)0.5(-0.6) = x(x - 1.1)-0.3
Terceiro termo:
L2(x) = (x - 0)(x - 0.5)(1.1 - 0)(1.1 - 0.5) = x(x - 0.5)1.1 times 0.6 = x(x - 0.5)0.66

Passo 5

Agora, montamos o polinômio $ P(x) $ substituindo os valores:
P(x)
Substituindo os $ L_i(x) $:
P(x) = 3 cdot L0(x) + 3.53 cdot L1(x) + 4.46 cdot L2(x)

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Primeiro termo:
3 cdot (x - 0.5)(x - 1.1)0.55 = 30.55(x^2 - 1.6x + 0.55) = 5.4545x^2 - 8.7273x + 3
Segundo termo:
3.53 cdot x(x - 1.1)-0.3 = -3.530.3(x^2 - 1.1x) = -11.7667x^2 + 12.9333x
Terceiro termo:
4.46 cdot x(x - 0.5)0.66 = 4.460.66(x^2 - 0.5x) = 6.7576x^2 - 3.3939x

Passo 7

Agora, somamos todos os termos:
P(x) = (5.4545x^2 - 8.7273x + 3) + (-11.7667x^2 + 12.9333x) + (6.7576x^2 - 3.3939x)
Somando os coeficientes:
  • $ x^2: 5.4545 - 11.7667 + 6.7576 = 0.4454 $
  • $ x: -8.7273 + 12.9333 - 3.3939 = 0.8121 $
  • Termo constante: 3
Então,
x^2: 5.4545 - 11.7667 + 6.7576 = 0.4454

Passo 8

Agora que temos o polinômio interpolador, vamos avaliar $ P(0.6) $:
P(0.6)
Calculando cada parte:
P(0.6) = 0.4454(0.6)^2 + 0.8121(0.6) + 3
0.4454 times 0.36 = 0.160344
0.8121 times 0.6 = 0.48726
Somando tudo:
3

Passo 9

Agora, vamos calcular o limite superior para o erro. A fórmula do erro para o polinômio de Lagrange é:
|f(x) - P(x)| <= M(n+1)! |x - x0||x - x1||x - x2|
Onde:
  • $ M $ é a máxima derivada de ordem $ n+1 $ da função $ f $ no intervalo.
  • $ n $ é o grau do polinômio (no nosso caso, 2).
  • $ x_0, x_1, x_2 $ são os pontos usados na interpolação.
Então,
M

Passo 10

Vamos identificar $ M $. Sabemos que $ f(x) = e^{x} + \cos(x) + 1 $. A terceira derivada de $ f $ é:
M
Para encontrar $ M $, encontramos o máximo valor de $ f’’’(x) $ no intervalo f(x) = e^x + cos(x) + 1 .
Sabemos que $ e^{x} $ cresce e $ -\cos(x) $ varia entre -1 e 1. Então, o máximo de $ f’’’(x) $ será aproximadamente $ e^{1.1} + 1 $.
Calculando:
f
f'''(x) = e^x - cos(x)

Passo 11

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
|f(0.6) - P(0.6)| <= 4.00426 times 0.6 times 0.1 times 0.5
Calculando:
4.00426 approx 0.6674
0.6674 times 0.6 = 0.4004
0.4004 times 0.1 = 0.04004
0.04004 times 0.5 = 0.02002
Então,
|f(0.6) - P(0.6)| <= 0.02002

Resposta

Usando o polinômio interpolador de Lagrange, $ f(0.6) \approx 3.6476 $ e o limite superior para o erro é aproximadamente $ 0.0200 $.

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