Seja a função f(x)=e^x tabelada abaixo. Usando o polinômio de interpolação linear, calcule o ponto x=132 e um limite superior para o erro.
|c|c|c| hline$x$ & 1.3 & 1.4 hline$f(x)$ & 3.669 & 4.055 hline 1.3 1.4
3.669 4.055

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma tabela com valores de em e , e o desafio é estimar usando interpolação linear. A matéria envolvida é “Interpolação de Lagrange” (no caso, só o polinômio de grau 1) e depois a gente calcula um “limite superior do erro” dessa aproximação, usando a fórmula do resto da interpolação. Para isso, vamos precisar:
  1. da fórmula do polinômio de interpolação linear;
  2. do valor máximo de no intervalo para usar no erro.

Passo 2

Primeiro, o polinômio linear que passa pelos pontos L(x)=f0 + f1 - f0x1 - x0(x - x0) e L(x)=3.669 + 4.055 - 3.6691.4 - 1.3(x - 1.3) =3.669 + 0.3860.1(x - 1.3) =3.669 + 3.86,(x - 1.3) é:
L(1.32)=3.669 + 3.86,(1.32 - 1.3) =3.669 + 3.86cdot0.02 =3.669 + 0.0772 =3.7462
Substituindo:
Agora avaliamos em :

Passo 3

Beleza, agora o erro máximo da interpolação linear é dado por
|R1(x)| <= maxxiin[1.3,1.4]|f''(xi)|2!,| (x-1.3)(x-1.4) |
Como M = e^1.4approx4.055 , temos |R1(1.32)| <= 4.0552,l| (1.32-1.3)(1.32-1.4)r| =2.0275cdot|0.02cdot(-0.08)| =2.0275cdot0.0016 approx0.00324 , que cresce. Então o máximo no intervalo é em :
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Resposta

Estimativa pelo polinômio linear:
.
Limite superior do erro:
.

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