(Encontro de matemática da Duke de a=\log _{3} 5, b=\log _{3} 4 e c=\log _{3}\left(\frac{1}{20}\right). Então 2022 - adaptada) Considere \left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+a b}\right)+\left(\frac{c^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}+c b}\right)+\left(\frac{a^{2}+c^{2}}{c^{2}+a^{2}+a c}\right) é igual a:
a) 1
b) 0
c) \log _{3} 2
d) \log _{2} 3
e) 4

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas as constantes
a=\log_{3}5,\qquad b=\log_{3}4,\qquad c=\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{20}\right).
  • O enunciado pede o valor da expressão
\left(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}+a b}\right)+\left(\frac{c^{2}+b^{2}}{c^{2}+b^{2}+c b}\right)+\left(\frac{a^{2}+c^{2}}{c^{2}+a^{2}+a c}\right).
  • Há opções de resposta (a) 1, (b) 0, (c) \log_{3}2, (d) \log_{2}3, (e) 4.
Tudo o que tenho para resolver o problema está aqui; não peço nada extra.

Passo 2

Primeira observação útil (fato com logaritmos). Use a propriedade do logaritmo do produto:
a+b+c=\log_{3}5+\log_{3}4+\log_{3}\!\left(\tfrac{1}{20}\right)=\log_{3}\!\left(5\cdot4\cdot\tfrac{1}{20}\right)=\log_{3}1=0.
Ou seja,
\boxed{a+b+c=0.}
Essa relação vai simplificar muito contas com quadrados e somas.

Passo 3

Para simplificar a notação, escrevo
p=a,\qquad q=b,\qquad r=c.
Então já sabemos \,p+q+r=0, ou seja \,r=-(p+q).
Vou analisar os denominadores que aparecem nos três termos. O primeiro denominador é
D_1=p^{2}+q^{2}+pq.
Calculo os outros dois denominadores usando r=-(p+q):
D_2=q^{2}+r^{2}+qr,\qquad D_3=r^{2}+p^{2}+rp.

Passo 4

Mostro que os três denominadores são iguais — isso é a chave.
Como r=-(p+q) temos
r^{2}=(p+q)^{2}=p^{2}+q^{2}+2pq.
Então
\begin{aligned} D_2 &= q^{2}+r^{2}+qr = q^{2}+(p^{2}+q^{2}+2pq)+q(-p-q)\\\ &= p^{2}+q^{2}+pq = D_1. \end{aligned}
Analogamente,
\begin{aligned} D_3 &= r^{2}+p^{2}+rp = (p^{2}+q^{2}+2pq)+p(-p-q)+p^{2}\\\ &= p^{2}+q^{2}+pq = D_1. \end{aligned}
Portanto
\boxed{D_1=D_2=D_3=:D = p^{2}+q^{2}+pq.}

Passo 5

Agora some os numeradores. Os três numeradores são p^{2}+q^{2}, q^{2}+r^{2} e r^{2}+p^{2}. Somando:
N = (p^{2}+q^{2})+(q^{2}+r^{2})+(r^{2}+p^{2}) = 2(p^{2}+q^{2}+r^{2}).
Logo a soma total pedida é
S=\frac{N}{D}=\frac{2(p^{2}+q^{2}+r^{2})}{\,p^{2}+q^{2}+pq\,}.

Passo 6

Relaciono p^{2}+q^{2}+r^{2} com D. Usando r^{2}=p^{2}+q^{2}+2pq (do passo 4):
p^{2}+q^{2}+r^{2}=p^{2}+q^{2}+(p^{2}+q^{2}+2pq)=2p^{2}+2q^{2}+2pq=2(p^{2}+q^{2}+pq)=2D.
Portanto
S=\frac{2\cdot(2D)}{D}=4.

Passo 7

Interpretação final e conclusão: a soma vale 4, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) 4

Exercícios relacionados