(Encontro de matemática da Duke de
. Então 2022 - adaptada) Considere
é igual a:
a) 1
b) 0
c)
d)
e) 4
a) 1
b) 0
c)
d)
e) 4
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas as constantes
- O enunciado pede o valor da expressão
- Há opções de resposta (a)
, (b) , (c) , (d) , (e) .
Tudo o que tenho para resolver o problema está aqui; não peço nada extra.
Passo 2
Primeira observação útil (fato com logaritmos). Use a propriedade do logaritmo do produto:
Ou seja,
Essa relação vai simplificar muito contas com quadrados e somas.
Passo 3
Para simplificar a notação, escrevo
Então já sabemos
, ou seja
.
Vou analisar os denominadores que aparecem nos três termos. O primeiro denominador é
Calculo os outros dois denominadores usando
:
Passo 4
Mostro que os três denominadores são iguais — isso é a chave.
Como
temos
Então
Analogamente,
Portanto
Passo 5
Agora some os numeradores. Os três numeradores são
,
e
. Somando:
Logo a soma total pedida é
Passo 6
Relaciono
com
. Usando
(do passo 4):
Portanto
Passo 7
Interpretação final e conclusão: a soma vale
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e) 4