Nos casos (a) e (b), são dadas a expressão de uma função f, um intervalo [a, b] e uma aproximação \mathrm{x}_{1} para o zero de f. Para cada uma das funções, faça o que se pede:
(a) Verifique que há ao menos um zero no intervalo dado e encontre uma expressão para f^{\prime}(x). Use o método de Newton e, partindo da aproximação \mathrm{x}_{1}, preencha uma tabela contendo os valores de cada iteração (k, x_{k}, f(x_{k}), f^{\prime}(x_{k})) e \varepsilon_{rel}. Preencha a tabela para as quatro primeiras iterações.
f(x)=x^{3}-2 x-5 em [-3,3], x_{1}=2,5;

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-2x-5\, no intervalo [-3,3] e uma aproximação inicial \mathrm{x}_{1}=2{,}5. As tarefas pedidas são:
  • Verificar que existe pelo menos uma raiz de f em [-3,3].
  • Encontrar uma expressão para f'(x).
  • Aplicar o método de Newton partindo de \mathrm{x}_{1}=2{,}5 e preencher uma tabela com as quatro primeiras iterações, contendo em cada iteração os valores (k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;\varepsilon_{rel}).

Passo 2

Verificação da existência de pelo menos uma raiz em [-3,3].
Calcular f(-3) e f(3):
f(-3)=(-3)^{3}-2(-3)-5=-27+6-5=-26,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16.
Como f(-3)=-26<0 e f(3)=16>0, pela propriedade do valor intermediário (teorema do valor intermediário) existe pelo menos um raiz \xi em [-3,3] tal que f(\xi)=0.

Passo 3

Encontrar f'(x) (regra de derivação passo a passo).
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -2x é -2.
  • Derivada de -5 é 0.
Portanto
f'(x)=3x^{2}-2.

Passo 4

Apresentação do método de Newton (explicação didática).
O método de Newton usa a reta tangente em x_{k} para aproximar a raiz. A fórmula iterativa é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Neste contexto:
  • x_{k} é a aproximação atual da raiz;
  • f(x_{k}) é o valor da função nessa aproximação;
  • f'(x_{k}) é a derivada (inclinação da tangente) nessa aproximação;
  • x_{k+1} é a próxima aproximação obtida cortando a reta tangente com o eixo x.
Definimos o erro relativo entre iterações (forma prática para a prova) por
\varepsilon_{rel}^{(k)}=\left|\frac{x_{k+1}-x_{k}}{x_{k+1}}\right|.
Esta é uma medida de quanto a aproximação mudou em relação ao novo valor; é útil para verificação de convergência. Nas iterações abaixo usarei essa definição.

Passo 5

Cálculo da iteração k=1 (primeira linha da tabela).
Dados: \mathrm{x}_{1}=2{,}5.
Calcular f(\mathrm{x}_{1}):
f(2{,}5)=(2{,}5)^{3}-2\cdot2{,}5-5=\frac{125}{8}-5-5=\frac{125}{8}-\frac{80}{8}=\frac{45}{8}=5{,}625.
Calcular f'(\mathrm{x}_{1}):
f'(2{,}5)=3(2{,}5)^{2}-2=3\cdot\frac{25}{4}-2=\frac{75}{4}-2=\frac{67}{4}=16{,}75.
Aplicando Newton para obter \mathrm{x}_{2}:
\mathrm{x}_{2}=2{,}5-\frac{5{,}625}{16{,}75} = \frac{5}{2}-\frac{45/8}{67/4} = \frac{5}{2}-\frac{45}{134} = \frac{335-45}{134} = \frac{290}{134} = \frac{145}{67}\approx 2{,}1641791045.
Calcular o erro relativo \varepsilon_{rel}^{(1)}:
\varepsilon_{rel}^{(1)}=\left|\frac{\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{1}}{\mathrm{x}_{2}}\right| =\left|\frac{2{,}1641791045-2{,}5}{2{,}1641791045}\right| \approx 0{,}155155\quad(\text{aprox. }15{,}5155\%).

Passo 6

Cálculo da iteração k=2.
Usar \mathrm{x}_{2}\approx 2{,}1641791045.
Calcular f(\mathrm{x}_{2}) (avaliar x^{3}-2x-5):
Uma avaliação numérica com arredondamento controlado dá
f(2{,}1641791045)\approx 0{,}8079442770.
Calcular f'(\mathrm{x}_{2}):
f'(2{,}1641791045)=3(2{,}1641791045)^{2}-2\approx 12{,}0510127570.
Aplicar Newton para obter \mathrm{x}_{3}:
\mathrm{x}_{3}=2{,}1641791045-\frac{0{,}8079442770}{12{,}0510127570} \approx 2{,}1641791045-0{,}0670436800 \approx 2{,}0971354245.
Erro relativo \varepsilon_{rel}^{(2)}:
\varepsilon_{rel}^{(2)}=\left|\frac{2{,}0971354245-2{,}1641791045}{2{,}0971354245}\right| \approx 0{,}031970\quad(\text{aprox. }3{,}1970\%).

Passo 7

Cálculo da iteração k=3.
Usar \mathrm{x}_{3}\approx 2{,}0971354245.
Calcular f(\mathrm{x}_{3}):
f(2{,}0971354245)\approx 0{,}0288775510.
Calcular f'(\mathrm{x}_{3}):
f'(2{,}0971354245)=3(2{,}0971354245)^{2}-2\approx 11{,}1939360530.
Aplicar Newton para obter \mathrm{x}_{4}:
\mathrm{x}_{4}=2{,}0971354245-\frac{0{,}0288775510}{11{,}1939360530} \approx 2{,}0971354245-0{,}0025815679 \approx 2{,}0945538566.
Erro relativo \varepsilon_{rel}^{(3)}:
\varepsilon_{rel}^{(3)}=\left|\frac{2{,}0945538566-2{,}0971354245}{2{,}0945538566}\right| \approx 0{,}0012325\quad(\text{aprox. }0{,}12325\%).

Passo 8

Cálculo da iteração k=4 (precisamos de \mathrm{x}_{5} só para calcular \varepsilon_{rel}^{(4)}).
Usar \mathrm{x}_{4}\approx 2{,}0945538566.
Calcular f(\mathrm{x}_{4}):
f(2{,}0945538566)\approx 0{,}0000229440.
Calcular f'(\mathrm{x}_{4}):
f'(2{,}0945538566)=3(2{,}0945538566)^{2}-2\approx 11{,}1614539870.
Uma última iteração de Newton:
\mathrm{x}_{5}=\mathrm{x}_{4}-\frac{f(\mathrm{x}_{4})}{f'(\mathrm{x}_{4})} \approx 2{,}0945538566-\frac{0{,}0000229440}{11{,}1614539870} \approx 2{,}0945538566-0{,}0000020556 \approx 2{,}0945518010.
Erro relativo \varepsilon_{rel}^{(4)}:
\varepsilon_{rel}^{(4)}=\left|\frac{\mathrm{x}_{5}-\mathrm{x}_{4}}{\mathrm{x}_{5}}\right| \approx \frac{0{,}0000020556}{2{,}0945518010}\approx 9{,}816\times 10^{-7}.
Observação sobre arredondamentos: nas avaliações numéricas acima foi usado arredondamento para aproximadamente 10 casas decimais nas somas/intermediários e apresentado com 9–10 casas onde útil. Em prova, faça as contas com número razoável de casas e mantenha coerência no arredondamento.

Resposta

k = 1, \;x_{1}=2{,}5,\;f(x_{1})=5{,}625,\;f'(x_{1})=16{,}75,\;\varepsilon_{rel}=0{,}155155
k = 2, \;x_{2}=\dfrac{145}{67}\approx 2{,}1641791045,\;f(x_{2})\approx 0{,}8079442770,\;f'(x_{2})\approx 12{,}0510127570,\;\varepsilon_{rel}\approx 0{,}031970
k = 3, \;x_{3}\approx 2{,}0971354245,\;f(x_{3})\approx 0{,}0288775510,\;f'(x_{3})\approx 11{,}1939360530,\;\varepsilon_{rel}\approx 0{,}0012325
k = 4, \;x_{4}\approx 2{,}0945538566,\;f(x_{4})\approx 0{,}0000229440,\;f'(x_{4})\approx 11{,}1614539870,\;\varepsilon_{rel}\approx 9{,}816\times 10^{-7}

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