Nos casos (a) e (b), são dadas a expressão de uma função f, um intervalo [a, b] e uma aproximação \mathrm{x}_{1} para o zero de f. Para cada uma das funções, faça o que se pede:
(a) Verifique que há ao menos um zero no intervalo dado e encontre uma expressão para f^{\prime}(x). Use o método de Newton e, partindo da aproximação \mathrm{x}_{1}, preencha uma tabela contendo os valores de cada iteração (k, x_{k}, f(x_{k}), f^{\prime}(x_{k})) e \varepsilon_{rel}. Preencha a tabela para as quatro primeiras iterações. f(x)=x^{3}-2 x-5 em [-3,3], x_{1}=2,5;
Passo 1
O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-2x-5\, no intervalo [-3,3] e uma aproximação inicial \mathrm{x}_{1}=2{,}5. As tarefas pedidas são:
Verificar que existe pelo menos uma raiz de f em [-3,3].
Encontrar uma expressão para f'(x).
Aplicar o método de Newton partindo de \mathrm{x}_{1}=2{,}5 e preencher uma tabela com as quatro primeiras iterações, contendo em cada iteração os valores (k,\;x_{k},\;f(x_{k}),\;f'(x_{k}),\;\varepsilon_{rel}).
Passo 2
Verificação da existência de pelo menos uma raiz em [-3,3].
Calcular f(-3) e f(3):
f(-3)=(-3)^{3}-2(-3)-5=-27+6-5=-26,
f(3)=3^{3}-2\cdot3-5=27-6-5=16.
Como f(-3)=-26<0 e f(3)=16>0, pela propriedade do valor intermediário (teorema do valor intermediário) existe pelo menos um raiz \xi em [-3,3] tal que f(\xi)=0.
Passo 3
Encontrar f'(x) (regra de derivação passo a passo).
Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
Derivada de -2x é -2.
Derivada de -5 é 0.
Portanto
f'(x)=3x^{2}-2.
Passo 4
Apresentação do método de Newton (explicação didática).
O método de Newton usa a reta tangente em x_{k} para aproximar a raiz. A fórmula iterativa é
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Neste contexto:
x_{k} é a aproximação atual da raiz;
f(x_{k}) é o valor da função nessa aproximação;
f'(x_{k}) é a derivada (inclinação da tangente) nessa aproximação;
x_{k+1} é a próxima aproximação obtida cortando a reta tangente com o eixo x.
Definimos o erro relativo entre iterações (forma prática para a prova) por
Esta é uma medida de quanto a aproximação mudou em relação ao novo valor; é útil para verificação de convergência. Nas iterações abaixo usarei essa definição.
Passo 5
Cálculo da iteração k=1 (primeira linha da tabela).
Dados: \mathrm{x}_{1}=2{,}5.
Observação sobre arredondamentos: nas avaliações numéricas acima foi usado arredondamento para aproximadamente 10 casas decimais nas somas/intermediários e apresentado com 9–10 casas onde útil. Em prova, faça as contas com número razoável de casas e mantenha coerência no arredondamento.
Resposta
k = 1, \;x_{1}=2{,}5,\;f(x_{1})=5{,}625,\;f'(x_{1})=16{,}75,\;\varepsilon_{rel}=0{,}155155
k = 2, \;x_{2}=\dfrac{145}{67}\approx 2{,}1641791045,\;f(x_{2})\approx 0{,}8079442770,\;f'(x_{2})\approx 12{,}0510127570,\;\varepsilon_{rel}\approx 0{,}031970
k = 3, \;x_{3}\approx 2{,}0971354245,\;f(x_{3})\approx 0{,}0288775510,\;f'(x_{3})\approx 11{,}1939360530,\;\varepsilon_{rel}\approx 0{,}0012325
k = 4, \;x_{4}\approx 2{,}0945538566,\;f(x_{4})\approx 0{,}0000229440,\;f'(x_{4})\approx 11{,}1614539870,\;\varepsilon_{rel}\approx 9{,}816\times 10^{-7}