Nos casos (a) e (b), são dadas a expressão de uma função f, um intervalo [a, b] e uma aproximação \mathrm{x}_{1} para o zero de f. Para cada uma das funções, faça o que se pede:
(b) Verifique que há ao menos um zero no intervalo dado e encontre uma expressão para f^{\prime}(x). Use o método de Newton e, partindo da aproximação \mathrm{x}_{1}, preencha uma tabela contendo os valores de cada iteração (k, x_{k}, f(x_{k}), f^{\prime}(x_{k})) e \varepsilon_{rel}. Preencha a tabela para as quatro primeiras iterações.
f(x)=x-\cos (x) em \left.[-\pi, \pi], x_{1}=1,0\right] (a calculadora deve estar configurada para tratar ângulos em radianos).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função f definida por f(x)=x-\cos(x).
  • O intervalo \left[-\pi,\pi\right].
  • A aproximação inicial \mathrm{x}_{1}=1{,}0 (ângulos em radianos).
    O que é pedido:
  • Verificar que existe ao menos um zero de f no intervalo dado.
  • Encontrar uma expressão para f'(x).
  • Usar o método de Newton partindo de x_{1} e preencher uma tabela contendo, para as quatro primeiras iterações, os valores \left(k, x_{k}, f(x_{k}), f'(x_{k}), \varepsilon_{rel}\right).

Passo 2

Verificar existência de zero no intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Calcular f nas extremidades:
f(-\pi) = -\pi - \cos(-\pi) = -\pi - \cos(\pi) = -\pi - (-1) = -\pi + 1,
f(\pi) = \pi - \cos(\pi) = \pi - (-1) = \pi + 1.
Numericamente,
f(-\pi)\approx -3{,}141592653589793 + 1 = -2{,}141592653589793 < 0,
f(\pi)\approx 3{,}141592653589793 + 1 = 4{,}141592653589793 > 0.
Como f é contínua (soma e diferença de funções contínuas) e f(-\pi)\cdot f(\pi)<0, pelo TVI existe pelo menos um zero de f em \left[-\pi,\pi\right].

Passo 3

Encontrar f'(x). Usando regras básicas de derivação:
  • A derivada de x é 1.
  • A derivada de \cos(x) é -\sin(x), então a derivada de -\cos(x) é +\sin(x).
    Portanto,
f'(x)=1+\sin(x).

Passo 4

Apresentação e ideia do método de Newton (breve e prática).
  • Objetivo: a partir de uma aproximação x_k obter uma nova x_{k+1} mais próxima da raiz.
  • Fórmula de iteração de Newton:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
  • Intuição: usa a reta tangente em (x_k,f(x_k)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x.
  • Definição de erro relativo que usarei na tabela (padrão comum):
\varepsilon_{rel}^{(k)}=\frac{|x_{k}-x_{k-1}|}{|x_{k}|}\quad\text{para }k\ge 2.
Para k=1 não há x_{0} fornecido, então deixarei \varepsilon_{rel} como “—” em k=1.
Observação prática: a calculadora deve estar em radianos (conforme o enunciado).

Passo 5

Cálculos iterativos (detalhados, com aproximações decimais). Parto de x_{1}=1{,}0.
Iteração k=1 (valor inicial, apenas avaliação de f e f'):
x_{1}=1{,}0.
Calcular f(x_{1}) e f'(x_{1}):
f(x_{1})=1-\cos(1)\approx 1-0{,}5403023058681397=0{,}4596976941318603,
f'(x_{1})=1+\sin(1)\approx 1+0{,}8414709848078965=1{,}8414709848078965.
Como k=1, \varepsilon_{rel}= —.
Usar Newton para obter x_{2}:
x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})} =1-\frac{0{,}4596976941318603}{1{,}8414709848078965} \approx 0{,}7503638678461397.
Iteração k=2:
x_{2}\approx 0{,}7503638678461397.
Calcular f(x_{2}) e f'(x_{2}).
Primeiro \cos(x_{2}) e \sin(x_{2}) (aproximações via cálculo numérico):
\cos(0{,}7503638678461397)\approx 0{,}7314407603000000, \qquad \sin(0{,}7503638678461397)\approx 0{,}6819051068470180.
Logo
f(x_{2})=x_{2}-\cos(x_{2})\approx 0{,}7503638678461397-0{,}7314407603000000 =0{,}0189231075461397,
f'(x_{2})=1+\sin(x_{2})\approx 1{,}6819051068470180.
Erro relativo entre x_{1} e x_{2}:
\varepsilon_{rel}^{(2)}=\frac{|x_{2}-x_{1}|}{|x_{2}|} =\frac{|0{,}7503638678461397-1{,}0|}{0{,}7503638678461397} \approx 0{,}3327650251538603.
Newton: calcular x_{3}:
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})} \approx 0{,}7503638678461397-\frac{0{,}0189231075461397}{1{,}6819051068470180} \approx 0{,}7391151338461397.
Iteração k=3:
x_{3}\approx 0{,}7391151338461397.
Calcular f(x_{3}) e f'(x_{3}). Usando aproximações numéricas:
\cos(0{,}7391151338461397)\approx 0{,}7390649248500000, \qquad \sin(0{,}7391151338461397)\approx 0{,}6736342016150000.
Logo
f(x_{3})=x_{3}-\cos(x_{3})\approx 0{,}7391151338461397-0{,}7390649248500000 =0{,}0000502089961397\approx 5{,}02089961397\times 10^{-5},
f'(x_{3})=1+\sin(x_{3})\approx 1{,}6736342016150000.
Erro relativo entre x_{2} e x_{3}:
\varepsilon_{rel}^{(3)}=\frac{|x_{3}-x_{2}|}{|x_{3}|} =\frac{|0{,}7391151338461397-0{,}7503638678461397|}{0{,}7391151338461397} \approx 0{,}015219995012\ldots \approx 1{,}5219995\times 10^{-2}.
Newton: calcular x_{4}:
x_{4}=x_{3}-\frac{f(x_{3})}{f'(x_{3})} \approx 0{,}7391151338461397-\frac{0{,}0000502089961397}{1{,}6736342016150000} \approx 0{,}7390851332151607.
Iteração k=4:
x_{4}\approx 0{,}7390851332151607.
Calcular f(x_{4}) e f'(x_{4}). Como x_{4} já coincide (nos dígitos mostrados) com a raiz verdadeira conhecida de x=\cos x, temos
f(x_{4})=x_{4}-\cos(x_{4})\approx 0\quad(\text{em termos numéricos } \approx 10^{-11}\text{ ou menor}).é
E
f'(x_{4})=1+\sin(x_{4})\approx 1{,}673612\ldots
Erro relativo entre x_{3} e x_{4}:
\varepsilon_{rel}^{(4)}=\frac{|x_{4}-x_{3}|}{|x_{4}|} =\frac{|0{,}7390851332151607-0{,}7391151338461397|}{0{,}7390851332151607} \approx 4{,}0596\times 10^{-5}.
Agora resumimos os resultados (os números apresentados abaixo são aproximações decimais obtidas nos cálculos anteriores).

Resposta

Há ao menos um zero em \left[-\pi,\pi\right], pois
f(-\pi)=-\pi+1\approx -2{,}141592653589793<0,\qquad f(\pi)=\pi+1\approx 4{,}141592653589793>0.
f'(x)=1+\sin(x).
Tabela com as quatro primeiras iterações \left(k, x_{k}, f(x_{k}), f'(x_{k}), \varepsilon_{rel}\right):
\begin{array}{lllll} k & x_{k} & f(x_{k}) & f'(x_{k}) & \varepsilon_{rel} \\[4pt] 1 & 1{,}0000000000000000 & 0{,}4596976941318603 & 1{,}8414709848078965 & \text{—} \\[4pt] 2 & 0{,}7503638678461397 & 0{,}0189231075461397 & 1{,}6819051068470180 & 0{,}3327650251538603 \\[4pt] 3 & 0{,}7391151338461397 & 0{,}0000502089961397 & 1{,}6736342016150000 & 0{,}015219995012\ldots \\[4pt] 4 & 0{,}7390851332151607 & \approx 0 & 1{,}673612\ldots & 4{,}0596\times 10^{-5} \end{array}]

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