Nos casos (a) e (b), são dadas a expressão de uma função f, um intervalo [a, b] e uma aproximação
para o zero de f. Para cada uma das funções, faça o que se pede:
(b) Verifique que há ao menos um zero no intervalo dado e encontre uma expressão para
. Use o método de Newton e, partindo da aproximação
, preencha uma tabela contendo os valores de cada iteração
e
. Preencha a tabela para as quatro primeiras iterações.
em
(a calculadora deve estar configurada para tratar ângulos em radianos).
(b) Verifique que há ao menos um zero no intervalo dado e encontre uma expressão para
Passo 1
O enunciado dá:
- A função
definida por . - O intervalo
. - A aproximação inicial
(ângulos em radianos).
O que é pedido: - Verificar que existe ao menos um zero de
no intervalo dado. - Encontrar uma expressão para
. - Usar o método de Newton partindo de
e preencher uma tabela contendo, para as quatro primeiras iterações, os valores .
Passo 2
Verificar existência de zero no intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI).
Calcular nas extremidades:
Calcular
Numericamente,
Como
é contínua (soma e diferença de funções contínuas) e
, pelo TVI existe pelo menos um zero de
em
.
Passo 3
Encontrar
. Usando regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é , então a derivada de é .
Portanto,
Passo 4
Apresentação e ideia do método de Newton (breve e prática).
- Objetivo: a partir de uma aproximação
obter uma nova mais próxima da raiz. - Fórmula de iteração de Newton:
- Intuição: usa a reta tangente em
e toma a interseção dessa reta com o eixo . - Definição de erro relativo que usarei na tabela (padrão comum):
Para
não há
fornecido, então deixarei
como “—” em
.
Observação prática: a calculadora deve estar em radianos (conforme o enunciado).
Passo 5
Cálculos iterativos (detalhados, com aproximações decimais). Parto de
.
Iteração
(valor inicial, apenas avaliação de
e
):
Calcular
e
:
Como
,
—.
Usar Newton para obter
:
Iteração
:
Calcular
e
.
Primeiro e
(aproximações via cálculo numérico):
Primeiro
Logo
Erro relativo entre
e
:
Newton: calcular
:
Iteração
:
Calcular
e
. Usando aproximações numéricas:
Logo
Erro relativo entre
e
:
Newton: calcular
:
Iteração
:
Calcular
e
. Como
já coincide (nos dígitos mostrados) com a raiz verdadeira conhecida de
, temos
E
Erro relativo entre
e
:
Agora resumimos os resultados (os números apresentados abaixo são aproximações decimais obtidas nos cálculos anteriores).
Resposta
Há ao menos um zero em
, pois
Tabela com as quatro primeiras iterações
: