- Considere a função
(a) Determine a expressão do método de Newton para essa função.
(b) Aplique o método com
e calcule algumas iterações.
(c) Descreva o comportamento da sequência gerada.
(d) Explique por que o método apresenta instabilidade nesse caso.
(b) Aplique o método com
(c) Descreva o comportamento da sequência gerada.
(d) Explique por que o método apresenta instabilidade nesse caso.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
(a) determinar a expressão do método de Newton aplicada a essa função;
(b) aplicar o método com e calcular algumas iterações;
(c) descrever o comportamento da sequência gerada;
(d) explicar por que o método apresenta instabilidade nesse caso.
(a) determinar a expressão do método de Newton aplicada a essa função;
(b) aplicar o método com
(c) descrever o comportamento da sequência gerada;
(d) explicar por que o método apresenta instabilidade nesse caso.
Informações relevantes dadas: a função
e o valor inicial
. Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Rápida lembrança do método de Newton (para eu te lembrar como funciona na prova): dado um
suficientemente diferenciável e um palpite
, a iteração de Newton é
O que isso significa na prática: para cada
calcula-se a reta tangente à curva
no ponto
e toma-se a interseção dessa reta com o eixo
; o ponto dessa interseção é
. Para provar convergência clássica usa-se que
é
perto da raiz
e que
; então, para
suficientemente próximo de
, a sequência converge quadraticamente.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Usando a regra da potência (para
):
Explicando a regra da potência: se
então
. Aqui
, logo
.
Observação:
está definida apenas para
; em
a derivada não existe (tende a
ao se aproximar por valores próximos a
).
Passo 4
Agora aplico a fórmula de Newton:
Vamos simplificar passo a passo:
Portanto
Conclusão importante: para qualquer
a iteração de Newton reduz-se exatamente à relação linear
(Notar que essa expressão usa que
existe, logo é válida apenas para
.)
Passo 5
Com a regra
é trivial obter as iterações a partir de
. Faço as primeiras iterações multiplicando por
a cada passo:
e assim por diante.
Também posso expressar a fórmula geral:
Passo 6
Descrição do comportamento da sequência (observando os resultados):
- A sequência alterna de sinal a cada iteração (porque o fator é negativo).
- O valor absoluto dobra a cada iteração (porque o fator em módulo é
). - Portanto os termos ficam cada vez maiores em módulo e a sequência diverge para infinito em módulo; em particular ela não converge para a raiz
.
Exemplo numérico:.
Passo 7
Por que o método apresenta instabilidade aqui? Explico didaticamente e com intuição:
- Hipóteses teóricas violadas: o teorema padrão de convergência de Newton exige que
seja perto da raiz e que . Aqui a raiz é , mas não está definida em (tende a ao aproximar-se de ). Logo as hipóteses do teorema falham — não se pode garantir convergência local quadrática, nem mesmo convergência linear. - Análise do mapa de Newton: o operador de iteração de Newton é a função
No nosso caso, para
obtemos
. O ponto
é um ponto fixo de
, mas a derivada do mapa
(para
) é
. Assim o multiplicador associado ao ponto fixo é
e
. Em teoria de pontos fixos, se
o ponto fixo
é repulsor: pequenas perturbações afastam-se exponencialmente. Isso explica a divergência geométrica observada.
3. Intuição geométrica: perto de a função
tem tangentes muito íngremes (derivada muito grande), de modo que a linha tangente em um ponto pequeno intercepta o eixo
muito longe; o passo de Newton “projeta” para um ponto distante em vez de aproximar-se da raiz. Por isso as iterações “escapam” do zero.
3. Intuição geométrica: perto de
Passo 8
Observações práticas e dicas para a prova:
- Se encontrar uma função com comportamento singular da derivada na raiz, não aplique Newton sem analisar: verifique
(ou existência) antes de confiar em Newton. - Para funções do tipo
é melhor resolver analiticamente (a raiz é óbvia: ), ou reformular o problema (por ex., aplicar Newton em outra função equivalente bem comportada). - Um “remendo” técnico: se em vez de
se resolvesse , aplicar Newton a dá iteração trivial que zera em um passo (mas isso é apenas uma observação sobre reescrever a equação).
Força aí — esse tipo de exemplo é ótimo para entender por que as hipóteses teóricas do método são importantes!
Resposta
(a)
.
(b) ,
,
,
,
,
,
. Em geral
.
(c) A sequência alterna de sinal e cresce em módulo geometricamente (fator ), portanto diverge (é repulsora em relação à raiz
).
(d) Instabilidade ocorre porque não é definida em
(tende a
), violando as hipóteses de convergência do método; o mapa de Newton é
com derivada
(módulo maior que
), logo o ponto fixo
é repulsor.
(b)
(c) A sequência alterna de sinal e cresce em módulo geometricamente (fator
(d) Instabilidade ocorre porque