1. Considere a função
f(x)=x^{1 / 3}
(a) Determine a expressão do método de Newton para essa função.
(b) Aplique o método com x_{0}=0.1 e calcule algumas iterações.
(c) Descreva o comportamento da sequência gerada.
(d) Explique por que o método apresenta instabilidade nesse caso.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{1/3}
e pede quatro coisas:
(a) determinar a expressão do método de Newton aplicada a essa função;
(b) aplicar o método com x_{0}=0,1 e calcular algumas iterações;
(c) descrever o comportamento da sequência gerada;
(d) explicar por que o método apresenta instabilidade nesse caso.
Informações relevantes dadas: a função f e o valor inicial x_{0}=0,1. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Rápida lembrança do método de Newton (para eu te lembrar como funciona na prova): dado um f suficientemente diferenciável e um palpite x_n, a iteração de Newton é
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
O que isso significa na prática: para cada x_n calcula-se a reta tangente à curva y=f(x) no ponto x_n e toma-se a interseção dessa reta com o eixo x; o ponto dessa interseção é x_{n+1}. Para provar convergência clássica usa-se que f é C^2 perto da raiz r e que f'(r)\neq0; então, para x_0 suficientemente próximo de r, a sequência converge quadraticamente.

Passo 3

Calcular a derivada de f. Usando a regra da potência (para x\neq0):
f(x)=x^{1/3}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Explicando a regra da potência: se f(x)=x^{\alpha} então f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}. Aqui \alpha=\tfrac{1}{3}, logo \alpha-1=-\tfrac{2}{3}.
Observação: f'(x) está definida apenas para x\neq0; em x=0 a derivada não existe (tende a +\infty ao se aproximar por valores próximos a 0).

Passo 4

Agora aplico a fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}}.
Vamos simplificar passo a passo:
\frac{x_n^{1/3}}{\tfrac{1}{3}x_n^{-2/3}} = x_n^{1/3}\cdot\frac{3}{1}\,x_n^{2/3} = 3x_n^{1/3+2/3}=3x_n.
Portanto
x_{n+1}=x_n-3x_n=-2x_n.
Conclusão importante: para qualquer x_n\neq0 a iteração de Newton reduz-se exatamente à relação linear
\boxed{x_{n+1}=-2x_n.}
(Notar que essa expressão usa que f'(x_n) existe, logo é válida apenas para x_n\neq0.)

Passo 5

Com a regra x_{n+1}=-2x_n é trivial obter as iterações a partir de x_0=0,1. Faço as primeiras iterações multiplicando por -2 a cada passo:
x_0=0,1
x_1=-2\cdot 0,1=-0,2
x_2=-2\cdot(-0,2)=0,4
x_3=-2\cdot 0,4=-0,8
x_4=-2\cdot(-0,8)=1,6
x_5=-2\cdot 1,6=-3,2
x_6=-2\cdot(-3,2)=6,4
e assim por diante.
Também posso expressar a fórmula geral:
x_n = (-2)^n x_0.

Passo 6

Descrição do comportamento da sequência (observando os resultados):
  • A sequência alterna de sinal a cada iteração (porque o fator é negativo).
  • O valor absoluto dobra a cada iteração (porque o fator em módulo é 2).
  • Portanto os termos ficam cada vez maiores em módulo e a sequência diverge para infinito em módulo; em particular ela não converge para a raiz 0.
    Exemplo numérico: 0,1 \to -0,2 \to 0,4 \to -0,8 \to 1,6 \to -3,2 \to 6,4\to\cdots.

Passo 7

Por que o método apresenta instabilidade aqui? Explico didaticamente e com intuição:
  1. Hipóteses teóricas violadas: o teorema padrão de convergência de Newton exige que f seja C^2 perto da raiz r e que f'(r)\neq0. Aqui a raiz é r=0, mas f' não está definida em 0 (tende a +\infty ao aproximar-se de 0). Logo as hipóteses do teorema falham — não se pode garantir convergência local quadrática, nem mesmo convergência linear.
  2. Análise do mapa de Newton: o operador de iteração de Newton é a função
N(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}.
No nosso caso, para x\neq0 obtemos N(x)=-2x. O ponto x=0 é um ponto fixo de N, mas a derivada do mapa N (para x\neq0) é N'(x)=-2. Assim o multiplicador associado ao ponto fixo é -2 e |-2|>1. Em teoria de pontos fixos, se |N'(r)|>1 o ponto fixo r é repulsor: pequenas perturbações afastam-se exponencialmente. Isso explica a divergência geométrica observada.
3. Intuição geométrica: perto de 0 a função f(x)=x^{1/3} tem tangentes muito íngremes (derivada muito grande), de modo que a linha tangente em um ponto pequeno intercepta o eixo x muito longe; o passo de Newton “projeta” para um ponto distante em vez de aproximar-se da raiz. Por isso as iterações “escapam” do zero.

Passo 8

Observações práticas e dicas para a prova:
  • Se encontrar uma função com comportamento singular da derivada na raiz, não aplique Newton sem analisar: verifique f'(r) (ou existência) antes de confiar em Newton.
  • Para funções do tipo x^{1/3} é melhor resolver analiticamente (a raiz é óbvia: 0), ou reformular o problema (por ex., aplicar Newton em outra função equivalente bem comportada).
  • Um “remendo” técnico: se em vez de f(x)=x^{1/3} se resolvesse g(x)=f(x)^3=x, aplicar Newton a g dá iteração trivial que zera em um passo (mas isso é apenas uma observação sobre reescrever a equação).
Força aí — esse tipo de exemplo é ótimo para entender por que as hipóteses teóricas do método são importantes!

Resposta

(a) x_{n+1}=-2x_n.
(b) x_0=0,1, x_1=-0,2, x_2=0,4, x_3=-0,8, x_4=1,6, x_5=-3,2, x_6=6,4. Em geral x_n = (-2)^n x_0.
(c) A sequência alterna de sinal e cresce em módulo geometricamente (fator 2), portanto diverge (é repulsora em relação à raiz 0).
(d) Instabilidade ocorre porque f' não é definida em 0 (tende a +\infty), violando as hipóteses de convergência do método; o mapa de Newton é N(x)=-2x com derivada N'(x)=-2 (módulo maior que 1), logo o ponto fixo 0 é repulsor.

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