1. Considere a função
f(x)=x^{3}-2 x+2 .
(a) Aplique o método de Newton com x_{0}=0.
(b) Aplique o método de Newton com x_{0}=-2.
(c) Compare os comportamentos obtidos.
(d) Discuta a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{3}-2x+2
e pede:
(a) aplicar o método de Newton com x_{0}=0;
(b) aplicar o método de Newton com x_{0}=-2;
(c) comparar os comportamentos obtidos;
(d) discutir a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.
Informações relevantes dadas:
  • A função f está definida por \;f(x)=x^{3}-2x+2\;.
  • A derivada necessária para Newton é \;f'(x)=3x^{2}-2\;.
  • Os pontos iniciais a testar são x_{0}=0 e x_{0}=-2.

Passo 2

O que é o método de Newton (a ideia e a fórmula que vamos usar).
  • Ideia: aproximar f pela reta tangente em x_{n} e tomar o zero dessa reta como próxima aproximação da raiz. Geometricamente: desenha-se a tangente e segue-se até onde ela corta o eixo x.
  • Fórmula do método de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • f(x_{n}) é o valor da função no ponto atual;
  • f'(x_{n}) é a derivada no ponto atual (pendente da tangente);
  • x_{n+1} é a nova aproximação.
  • Requisitos e observações didáticas: para que Newton funcione bem, precisa-se de f'(x_{n})\neq 0 (não dá para dividir por zero). Se f for suave (deriváveis) e a aproximação inicial estiver suficientemente próxima de uma raiz simples (isto é, f'(\text{raiz})\neq 0), Newton costuma convergir muito rápido (convergência quadrática). Mas se o chute inicial for “infeliz”, podem ocorrer problemas: divergir, convergir a outra raiz, ou entrar em ciclos (não encontrar raiz).

Passo 3

Aplicando Newton com x_{0}=0. Vamos calcular passo a passo.
  • Calcular f(0) e f'(0):
f(0)=0^{3}-2\cdot0+2=2, \qquad f'(0)=3\cdot0^{2}-2=-2.
  • Aplicando a fórmula:
x_{1}=0-\frac{f(0)}{f'(0)}=0-\frac{2}{-2}=1.
  • Agora a partir de x_{1}=1: calcular f(1) e f'(1):
f(1)=1^{3}-2\cdot1+2=1, \qquad f'(1)=3\cdot1^{2}-2=1.
  • Aplicando a fórmula novamente:
x_{2}=1-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{1}{1}=0.
  • Observação: chegámos de volta a 0. Portanto a sequência gerada é
x_{0}=0,\; x_{1}=1,\; x_{2}=0,\; x_{3}=1,\;\dots
ou seja, entra num ciclo de período 2 e NÃO converge para uma raiz.

Passo 4

Explicação por que isso acontece (interpretação do ciclo).
  • Definindo o mapeamento de Newton N(x)=x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}, verificamos:
N(0)=1,\qquad N(1)=0.
  • Assim N(N(0))=0 e N(N(1))=1: 0 e 1 formam um ciclo de período 2 para o iterador de Newton. Sendo um ciclo atraente para esses pontos iniciais, a iteração não converge para a raiz verdadeira; fica oscilando entre 0 e 1.
  • Comentário didático: mesmo com f'(0)\neq0 e f'(1)\neq0, o mapa de Newton pode ter ciclos periódicos. Portanto não basta ter derivada não nula; a localização inicial importa.

Passo 5

Aplicando Newton com x_{0}=-2. Cálculos detalhados (valores numéricos com boa precisão).
  • Primeiro passo, x_{0}=-2:
f(-2)=(-2)^{3}-2(-2)+2=-8+4+2=-2, \qquad f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}-2=3\cdot4-2=12-2=10.
x_{1}=-2-\frac{f(-2)}{f'(-2)}=-2-\frac{-2}{10}=-2+0{,}2=-1{,}8.
  • Segundo passo, x_{1}=-1{,}8:
f(-1{,}8)=(-1{,}8)^{3}-2(-1{,}8)+2=-5{,}832+3{,}6+2=-0{,}232,
f'(-1{,}8)=3\cdot(-1{,}8)^{2}-2=3\cdot3{,}24-2=9{,}72-2=7{,}72.
x_{2}=-1{,}8-\frac{-0{,}232}{7{,}72}=-1{,}8+0{,}030051546\approx -1{,}7699484536.
  • Terceiro passo, x_{2}\approx -1{,}7699484536: calculando f(x_{2}) e f'(x_{2}) com aproximação:
f(x_{2})\approx -0{,}0048515005,\qquad f'(x_{2})\approx 7{,}398153233.
x_{3}=x_{2}-\frac{f(x_{2})}{f'(x_{2})}\approx -1{,}7699484536+\frac{0{,}0048515005}{7{,}398153233}\approx -1{,}769292853.
  • Quarto passo (opcional, para ver a precisão): a partir de x_{3} obtém-se uma correção muito pequena (ordem 10^{-7} ou menor), mostrando que a iteração já está muito perto da raiz.
  • Portanto a sequência a partir de x_{0}=-2 converge rapidamente (em poucas iterações) para a raiz real de f, cujo valor aproximado é
\text{raiz real}\approx -1{,}769292354\quad(\text{aproximação com precisão de 9 dígitos}).çããí

Passo 6

Comparação dos comportamentos (resumo claro).
  • Com x_{0}=0: a iteração gera o ciclo 0\mapsto1\mapsto0\mapsto1\mapsto\cdots. Não há convergência para a raiz; o método fica preso num ciclo de período 2.
  • Com x_{0}=-2: a iteração convergiu rapidamente para a raiz real \approx -1{,}769292354. O comportamento é o “clássico” e desejado: aproximação cada vez melhor até atingir erro pequeno.

Passo 7

Discussão da sensibilidade do método à escolha do ponto inicial (intuitiva e prática).
  • Por que Newton é sensível ao x_{0}?
    • Newton usa informação local (tangente) em x_{n}. Se o ponto inicial não estiver na região de atração da raiz procurada, a tangente pode encaminhar para outro comportamento (ciclos, divergência, convergência a outra raiz).
    • O mapa N(x)=x-f(x)/f'(x) tem sua própria dinâmica: pontos fixos (as raízes), pontos periódicos, conjuntos de atração complexos. Pequenas mudanças em x_{0} podem levar a destinos distintos.
  • Casos problemáticos típicos:
    • Se f'(x_{0}) é muito pequeno, o passo f(x_{0})/f'(x_{0}) pode ser enorme — iteração instável.
    • Se x_{0} estiver em uma região que leva a um ciclo periódico do mapa de Newton (como 0 no exemplo), não haverá convergência.
  • Recomendações práticas na prova ou em cálculos:
    • Tentar obter um intervalo que contenha a raiz (por exemplo via sinal de f — método da bisseção) e então usar Newton a partir de um ponto interior a esse intervalo; combinação (bisseção para garantir intervalo) + Newton (para rapidez) é uma estratégia segura.
    • Não escolher x_{0} em pontos onde f'(x) é zero ou muito pequeno.
    • Se Newton não estiver convergindo em algumas iterações, trocar a inicialização ou usar um método global (bisseção ou secante) antes de Newton.
  • Conclusão da discussão: o método de Newton é potentíssimo (convergência quadrática quando funciona), mas é sensível ao ponto inicial; escolher bem x_{0} ou usar métodos híbridos é prática recomendada.

Resposta

(a) Começando com x_{0}=0 obtém-se a sequência 0,\,1,\,0,\,1,\dots; o método entra num ciclo de período 2 e não converge para a raiz.
(b) Começando com x_{0}=-2 obtém-se a convergência rápida para a raiz real \displaystyle -1{,}769292354 (aproximação).
(c) Com x_{0}=0 o método falha por entrar num ciclo periódico; com x_{0}=-2 o método converge quadrática e rapidamente para a raiz.
(d) O método de Newton é sensível à escolha de x_{0}: escolhas ruins podem causar ciclos, divergência ou passos instáveis (quando f' é pequeno); por isso é aconselhável usar uma técnica de “bracketing” (ex.: bisseção) para localizar a raiz e então aplicar Newton, ou mudar o ponto inicial se a iteração falhar.

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