- Considere a função
(a) Aplique o método de Newton com
.
(b) Aplique o método de Newton com
.
(c) Compare os comportamentos obtidos.
(d) Discuta a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.
(b) Aplique o método de Newton com
(c) Compare os comportamentos obtidos.
(d) Discuta a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) aplicar o método de Newton com ;
(b) aplicar o método de Newton com ;
(c) comparar os comportamentos obtidos;
(d) discutir a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.
(a) aplicar o método de Newton com
(b) aplicar o método de Newton com
(c) comparar os comportamentos obtidos;
(d) discutir a sensibilidade do método à escolha do ponto inicial.
Informações relevantes dadas:
- A função
está definida por . - A derivada necessária para Newton é
. - Os pontos iniciais a testar são
e .
Passo 2
O que é o método de Newton (a ideia e a fórmula que vamos usar).
- Ideia: aproximar
pela reta tangente em e tomar o zero dessa reta como próxima aproximação da raiz. Geometricamente: desenha-se a tangente e segue-se até onde ela corta o eixo . - Fórmula do método de Newton:
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função no ponto atual; -
é a derivada no ponto atual (pendente da tangente); -
é a nova aproximação. - Requisitos e observações didáticas: para que Newton funcione bem, precisa-se de
(não dá para dividir por zero). Se for suave (deriváveis) e a aproximação inicial estiver suficientemente próxima de uma raiz simples (isto é, ), Newton costuma convergir muito rápido (convergência quadrática). Mas se o chute inicial for “infeliz”, podem ocorrer problemas: divergir, convergir a outra raiz, ou entrar em ciclos (não encontrar raiz).
Passo 3
Aplicando Newton com
. Vamos calcular passo a passo.
- Calcular
e :
- Aplicando a fórmula:
- Agora a partir de
: calcular e :
- Aplicando a fórmula novamente:
- Observação: chegámos de volta a
. Portanto a sequência gerada é
ou seja, entra num ciclo de período
e NÃO converge para uma raiz.
Passo 4
Explicação por que isso acontece (interpretação do ciclo).
- Definindo o mapeamento de Newton
, verificamos:
- Assim
e : e formam um ciclo de período para o iterador de Newton. Sendo um ciclo atraente para esses pontos iniciais, a iteração não converge para a raiz verdadeira; fica oscilando entre e . - Comentário didático: mesmo com
e , o mapa de Newton pode ter ciclos periódicos. Portanto não basta ter derivada não nula; a localização inicial importa.
Passo 5
Aplicando Newton com
. Cálculos detalhados (valores numéricos com boa precisão).
- Primeiro passo,
:
- Segundo passo,
:
- Terceiro passo,
: calculando e com aproximação:
- Quarto passo (opcional, para ver a precisão): a partir de
obtém-se uma correção muito pequena (ordem ou menor), mostrando que a iteração já está muito perto da raiz. - Portanto a sequência a partir de
converge rapidamente (em poucas iterações) para a raiz real de , cujo valor aproximado é
Passo 6
Comparação dos comportamentos (resumo claro).
- Com
: a iteração gera o ciclo . Não há convergência para a raiz; o método fica preso num ciclo de período . - Com
: a iteração convergiu rapidamente para a raiz real . O comportamento é o “clássico” e desejado: aproximação cada vez melhor até atingir erro pequeno.
Passo 7
Discussão da sensibilidade do método à escolha do ponto inicial (intuitiva e prática).
- Por que Newton é sensível ao
? - Newton usa informação local (tangente) em
. Se o ponto inicial não estiver na região de atração da raiz procurada, a tangente pode encaminhar para outro comportamento (ciclos, divergência, convergência a outra raiz). - O mapa
tem sua própria dinâmica: pontos fixos (as raízes), pontos periódicos, conjuntos de atração complexos. Pequenas mudanças em podem levar a destinos distintos.
- Newton usa informação local (tangente) em
- Casos problemáticos típicos:
- Se
é muito pequeno, o passo pode ser enorme — iteração instável. - Se
estiver em uma região que leva a um ciclo periódico do mapa de Newton (como no exemplo), não haverá convergência.
- Se
- Recomendações práticas na prova ou em cálculos:
- Tentar obter um intervalo que contenha a raiz (por exemplo via sinal de
— método da bisseção) e então usar Newton a partir de um ponto interior a esse intervalo; combinação (bisseção para garantir intervalo) + Newton (para rapidez) é uma estratégia segura. - Não escolher
em pontos onde é zero ou muito pequeno. - Se Newton não estiver convergindo em algumas iterações, trocar a inicialização ou usar um método global (bisseção ou secante) antes de Newton.
- Tentar obter um intervalo que contenha a raiz (por exemplo via sinal de
- Conclusão da discussão: o método de Newton é potentíssimo (convergência quadrática quando funciona), mas é sensível ao ponto inicial; escolher bem
ou usar métodos híbridos é prática recomendada.
Resposta
(a) Começando com
obtém-se a sequência
; o método entra num ciclo de período
e não converge para a raiz.
(b) Começando com obtém-se a convergência rápida para a raiz real
(aproximação).
(c) Com o método falha por entrar num ciclo periódico; com
o método converge quadrática e rapidamente para a raiz.
(d) O método de Newton é sensível à escolha de : escolhas ruins podem causar ciclos, divergência ou passos instáveis (quando
é pequeno); por isso é aconselhável usar uma técnica de “bracketing” (ex.: bisseção) para localizar a raiz e então aplicar Newton, ou mudar o ponto inicial se a iteração falhar.
(b) Começando com
(c) Com
(d) O método de Newton é sensível à escolha de