Os coeficientes da matriz representam a porcentagem de pigmento em cada uma das 4 diferentes tonalidades de tinta verde, por exemplo, a tinta com a nova tonalidade deverá conter 31 % de pigmento 3 , sabendo que a tinta tipo 1 contém 16 %, a tinta tipo 2 contém 20 % e a tinta tipo 4 contém 72 % do mesmo pigmento.
(a) Analisando apenas as condições suficientes de convergência, verifique se o método de Gauss-Seidel converge, quando aplicado a este sistema.
(b) Resolva o sistema de equações usando o método iterativo de Gauss-Seidel, utilizando para aproximação inicial o ponto (0.5,0.2,0.2,0)^T e utilizando como critério de parada epsilon=0.25 ou nmax =2.
Passo 1
Beleza, mano! Temos um sistema linear 4×4 que representa porcentagens de pigmentos em 4 tintas e queremos usar o método de Gauss–Seidel pra achar (x1,x2,x3,x4)^T.
Conteúdo: métodos iterativos (Gauss–Seidel) e condição suficiente de convergência (dominância diagonal). Vamos precisar revisar como checar se a matriz é estritamente diagonalmente dominante e depois fazer até 2 iterações ou parar quando a diferença máxima entre iterações for menor que epsilon=0,25.
Passo 2
Condição suficiente (que a gente usa pra ter garantia de convergência): a matriz deve ser estritamente diagonalmente dominante em cada linha, ou seja, para cada linha i,
|aii|>sumjneq i|aij|,
Vamos conferir cada linha da matriz
$$A=\begin{bmatrix}
\end{bmatrix}.$$
1) Linha 1: A= 81 & 0 & 30 &10 0 &80 &10 &10 16&20 &60 &72 4 & 0 & 0 &8 vs |81|. OK.
2) Linha 2: |0|+|30|+|10|=40implies81>40 vs |80|. OK.
3) Linha 3: 10+10=20implies80>20 vs |60|. Falhou!
4) Linha 4: 16+20+72=108implies60<108 vs |8|. OK.
Como a linha 3 não é estritamente dominante, a condição suficiente não se aplica. Logo, não podemos garantir convergência só por dominância diagonal.
Passo 3
Mesmo sem garantia teórica, a gente tenta rodar Gauss–Seidel e ver o que rola. A regra de atualização (usando valores já atualizados sempre que possível) é, por iteração kto k+1:
Como a mudança máxima já caiu abaixo de 0,25 na primeira iteração, paramos aqui (antes de chegar em nmax=2).
Resposta
a) A condição suficiente de dominância diagonal não é satisfeita na linha 3, então não há garantia teórica de convergência pelo critério de dominância.
b) Aplicando Gauss–Seidel com x^(0)=(0,5,0,2,0,2,0)^T e epsilon=0,25, após uma iteração obtemos