a) Resolva o sistema linear a seguir pelo método de Eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com dois algarismos significativos:
[ccc 3.0 & -1.0 & 1.0 0.5 & 2.0 & 1.0 4.0 & -2.0 & 6.0 ] cdot[l x1 x2 x3 ]=[c 5.0 -0.5 12.0 ]
b) Mostre que o sistema do item a) pode ser resolvido pelo método de Gauss-Seidel e calcule 1 iteração a partir de x0=(1.1,-0.9,0.9). Trabalhe com 3 algarimos significativos neste item.

Passo 1

Beleza, o exercício é dividido em duas partes:
a) Resolver o sistema
$$
3.0 & -1.0 & 1.0 0.5 & 2.0 & 1.0 4.0 & -2.0 & 6.0 x1x2x3 = 5.0-0.512.0
x^(0)=(1.1,,-0.9,;0.9)

x1,x2,x3
$$
usando Eliminação de Gauss COM pivoteamento parcial (“condensação pivotal”) e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
b) Mostrar que dá pra usar Gauss–Seidel e fazer 1 iteração a partir de , agora com 3 algarismos significativos.
Para a parte (a) você vai precisar entender:
  • Troca de linhas pra pivotar (escolher o maior pivô possível).
  • O processo de eliminação: zerar coluna abaixo do pivô.
  • Arredondar cada operação pra 2 dígitos significativos.
    Depois, faz a substituição regressiva pra achar .

Passo 2

Eliminação de Gauss (1ª coluna)
  1. Primeiro, comparamos os candidatos a pivô na 1ª coluna: |3.0|,;|0.5|,;|4.0|. O maior é 4.0 (linha 3), então trocamos linha 1 com linha 3.
    Matriz vira
    4.0 & -2.0 & 6.0 &|& 12.0 0.5 & 2.0 & 1.0 &|& -0.5 3.0 & -1.0 & 1.0 &|& 5.0
  2. Agora, pra zerar embaixo de 4.0:
    • L21=dfrac0.54.0=0.125toboxed0.12 (2 dígitos).
    • Nova linha 2 = (linha 2) – 0.12times(linha 1):
      A 22: 2.0 - 0.12(-2.0)=2.24to2.2,
      A 23: 1.0 - 0.12(6.0)=0.28,
      b 2: -0.5 - 0.12(12)= -1.94to-1.9.
    • L31=dfrac3.04.0=0.75to0.75.
    • Nova linha 3 = (linha 3) – 0.75times(linha 1):
      A 32: -1.0 - 0.75(-2.0)=0.50,
      A 33: 1.0 - 0.75(6.0)=-3.5,
      b 3: 5.0 - 0.75(12)= -4.0.
    Resultado até aqui:
    4.0 & -2.0 & 6.0 &|& 12.0 0 & 2.2 & 0.28&|& -1.9 0 & 0.50& -3.5&|& -4.0

Passo 3

Eliminação de Gauss (2ª coluna)
Olha as subdiagonais na 2ª coluna: 2.2 (linha 2) e 0.50 (linha 3). O pivô fica em linha 2 (já é o maior), então:
  • L32=dfrac0.502.2approx0.2273toboxed0.23.
  • Nova linha 3 = (linha 3) – 0.23times(linha 2):
    A 33: -3.5 - 0.23(0.28)= -3.5644to-3.6,
    b 3: -4.0 - 0.23(-1.9)= -4.0 +0.437= -3.563to-3.6.
Agora a matriz está triangular superior:
4.0 & -2.0 & 6.0 &|& 12.0 0 & 2.2 & 0.28&|& -1.9 0 & 0 &-3.6 &|& -3.6

Passo 4

Substituição regressiva
  • Da 3ª equação: x3=-3.6-3.6=1.0
    - Da 2ª equação:
    x2=-1.9 - 0.28,x32.2=-1.9-0.282.2=-2.18/2.2approx-0.99(2 sf)
  • Da 1ª equação: x1=12.0 -(-2.0)x2 -6.0,x34.0 =12.0 +2.0(0.99)-6.04.0 =7.984.0approx2.0(2 sf)

Passo 5

1ª iteração de Gauss–Seidel (3 dígitos)
As fórmulas são:
x1^(k+1)=dfrac5.0 + x2^(k) - x3^(k)3.0,[6pt] x2^(k+1)=dfrac-0.5 -0.5,x1^(k+1) - x3^(k)2.0,[6pt] x3^(k+1)=dfrac12.0 -4.0,x1^(k+1) +2.0,x2^(k+1)6.0
Partindo de x^(0)=(1.10,,-0.90,;0.90):
  1. x1^(1)=(5.0 +(-0.90)-0.90)/3.0=3.20/3.0=1.067to1.07
  2. x2^(1)=(-0.5 -0.5cdot1.07 -0.90)/2.0 =(-0.5 -0.535 -0.90)/2.0=-1.935/2.0=-0.9675to-0.968
  3. x3^(1)=(12.0 -4.0cdot1.07 +2.0cdot(-0.968))/6.0 =(12.0 -4.28 -1.936)/6.0=5.784/6.0=0.964

Resposta

a) Solução pelo método de Gauss (2 s.f.):
x1approx2.0, x2approx -0.99, x3approx1.0
b) Primeira iteração de Gauss–Seidel (3 s.f.):
x^(1)approx(1.07,;-0.968,;0.964)

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