a) Resolva o sistema linear abaixo pelo método de eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos:
[lll 3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 5 ] cdot[l x1 x2 x3 ]=[l 1 2 3 ]
b) Partindo da solução obtida no item a) execute uma iteração do método de Gauss-Seidel e delimite o erro em relação à solução exata do sistema (sem calculá-la).

Passo 1

Opa! Então o exercício pede duas coisas:
a) Resolver o sistema
[
3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 5 x1x2x3 = 123


]
usando eliminação de Gauss COM pivotamento parcial e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
b) Pegando essa solução aproximada, fazer UMA iteração de Gauss–Seidel e dar um limite para o erro em relação à solução exata (sem calcular a exata).
Conteúdo: métodos numéricos para SL (el eliminação de Gauss, Gauss–Seidel, análise de erro). Vamos precisar sempre arredondar cada operação a 2 dígitos significativos e usar norma ∞ para estimar o erro.

Passo 2

Monta a matriz aumentada e escolhe pivô na coluna 1 (pivotamento parcial):
Na coluna 1, o maior valor em módulo é 3 (linha 1), então sem troca.

Passo 3

Eliminação na coluna 1:
m_{21} = 1/3 ≈ 0{,}33,\quad m_{31}=1/3≈0{,}33.
Subtraio 0{,}33×Linha₁ de Linha₂ e de Linha₃, arredondando cada entrada a 2 dígitos:
Linha₂ ← [1,3,1|2] −0{,}33·[3,1,1|1]
= [0,,2{,}67,,0{,}67|,1{,}67] ≈ [0,2{,}7,0{,}67|1{,}7]
Linha₃ ← [1,1,5|3] −0{,}33·[3,1,1|1]
= [0,,0{,}67,,4{,}67|,2{,}67] ≈ [0,0{,}67,4{,}7|2{,}7]

Passo 4

Agora a submatriz 2×2 nas linhas 2–3, colunas 2–3:
2,7 & 0,67 0,67 & 4,7
Pivô é 2{,}7 (linha 2).
m_{32} = 0{,}67/2{,}7 ≈0{,}25.
Linha₃ ← [0,0{,}67,4{,}7|2{,}7] −0{,}25·[0,2{,}7,0{,}67|1{,}7]
= [0,0{,}67−0{,}675,,4{,}7−0{,}1675|,2{,}7−0{,}425]
≈ [0,−0{,}01,,4{,}53|,2{,}27] ≈ [0,0,4{,}5|2{,}3]
(observa que −0{,}01 vira praticamente zero na triangular superior).

Passo 5

Matriz triangular resultante (arredondada):
Faz back-substitution:
x_3 = 2{,}3/4{,}5 ≈0{,}51
x_2 = (1{,}7−0{,}67·0{,}51)/2{,}7
 = (1{,}7−0{,}34)/2{,}7 ≈1{,}36/2{,}7≈0{,}50
x_1 = (1−1·0{,}50−1·0{,}51)/3
 = (1−1{,}01)/3=−0{,}01/3≈−0{,}0033
Então a solução pelo Gauss é
3 & 1 & 1 &vru<=&1 0 &2,7&0,67&vru<=&1,7 0 &0 &4,5&vru<=&2,3

Passo 6

Agora 1 iteração de Gauss–Seidel, usando a ordem 1→2→3:
x_1^{(1)} = (1 − x_2^{(0)} − x_3^{(0)})/3
= (1−0{,}50−0{,}51)/3=−0{,}01/3≈−0{,}0033
x_2^{(1)} = (2 − x_1^{(1)} − x_3^{(0)})/3
= (2−(−0{,}0033)−0{,}51)/3≈1{,}4933/3≈0{,}50
x_3^{(1)} = (3 − x_1^{(1)} − x_2^{(1)})/5
= (3−(−0{,}0033)−0{,}50)/5≈2{,}5033/5≈0{,}50
Logo
x^(1)approx(-0,0033,;0,50,;0,50)

Passo 7

Para limitar o erro sem saber a solução exata, usamos que Gauss–Seidel é contrátil em norma ∞:
M = −D^{-1}(L+U)\implies |M|_∞ = \max{\tfrac{1}{3}(1+1),\tfrac{1}{3}(1+1),\tfrac{1}{5}(1+1)} = \tfrac{2}{3}.
Um resultado padrão dá
[
|x*-x{(1)}|_∞
\le
\frac{|M|_∞}{1-|M|_∞},|x{(1)}-x{(0)}|_∞

\frac{\tfrac23}{1-\tfrac23},\max_i|x_i{(1)}-x_i{(0)}|

\frac{2/3}{1/3}\times0{,}01
=2\times0{,}01=0{,}02.
]

Resposta

a) Solução por Gauss (2 dígitos sgn.):
x^(0)approx(-0,0033,;0,50,;0,51)
b) Após 1 iteração Gauss–Seidel:
x^(1)approx(-0,0033,;0,50,;0,50),
com erro .

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