a) Resolva o sistema linear abaixo pelo método de eliminação de Gauss com condensação pivotal e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos:
b) Partindo da solução obtida no item a) execute uma iteração do método de Gauss-Seidel e delimite o erro em relação à solução exata do sistema (sem calculá-la).
Passo 1
Opa! Então o exercício pede duas coisas:
a) Resolver o sistema
[ 3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 5 x1x2x3 = 123
]
usando eliminação de Gauss COM pivotamento parcial e aritmética de ponto flutuante com 2 algarismos significativos.
b) Pegando essa solução aproximada, fazer UMA iteração de Gauss–Seidel e dar um limite para o erro em relação à solução exata (sem calcular a exata).
Conteúdo: métodos numéricos para SL (el eliminação de Gauss, Gauss–Seidel, análise de erro). Vamos precisar sempre arredondar cada operação a 2 dígitos significativos e usar norma ∞ para estimar o erro.
Passo 2
Monta a matriz aumentada e escolhe pivô na coluna 1 (pivotamento parcial):
Na coluna 1, o maior valor em módulo é 3 (linha 1), então sem troca.
Passo 3
Eliminação na coluna 1:
m_{21} = 1/3 ≈ 0{,}33,\quad m_{31}=1/3≈0{,}33.
Subtraio 0{,}33×Linha₁ de Linha₂ e de Linha₃, arredondando cada entrada a 2 dígitos:
Linha₂ ← [1,3,1|2] −0{,}33·[3,1,1|1]
= [0,,2{,}67,,0{,}67|,1{,}67] ≈ [0,2{,}7,0{,}67|1{,}7]
Linha₃ ← [1,1,5|3] −0{,}33·[3,1,1|1]
= [0,,0{,}67,,4{,}67|,2{,}67] ≈ [0,0{,}67,4{,}7|2{,}7]
Passo 4
Agora a submatriz 2×2 nas linhas 2–3, colunas 2–3:
2,7 & 0,67 0,67 & 4,7
Pivô é 2{,}7 (linha 2).
m_{32} = 0{,}67/2{,}7 ≈0{,}25.
Linha₃ ← [0,0{,}67,4{,}7|2{,}7] −0{,}25·[0,2{,}7,0{,}67|1{,}7]
= [0,0{,}67−0{,}675,,4{,}7−0{,}1675|,2{,}7−0{,}425]
≈ [0,−0{,}01,,4{,}53|,2{,}27] ≈ [0,0,4{,}5|2{,}3]
(observa que −0{,}01 vira praticamente zero na triangular superior).
Para limitar o erro sem saber a solução exata, usamos que Gauss–Seidel é contrátil em norma ∞:
M = −D^{-1}(L+U)\implies |M|_∞ = \max{\tfrac{1}{3}(1+1),\tfrac{1}{3}(1+1),\tfrac{1}{5}(1+1)} = \tfrac{2}{3}.
Um resultado padrão dá
[
|x*-x{(1)}|_∞
\le
\frac{|M|_∞}{1-|M|_∞},|x{(1)}-x{(0)}|_∞