[ccc 2 & -1 & 8 -1 & 1 / 2 & 1 0 & 2 & 1 ] cdot[l x y z ]=[c 4 1 / 2 3 / 2 ]
(a) Determine a decomposição L U da matriz do sistema ou da matriz obtida desta através de uma permutação de linhas. Utilize a decomposição para resolver o sistema. (Obs.: Trabalhe com frações.)
(b) Reescreva o sistema, ordenando as incógnitas e equações de forma que o método de Gauss-Seidel seja convergente quando aplicado ao sistema resultante. Calcule uma iteração do método a partir de x^(0)=(0,-12, 1). Delimite o erro após esta iteração e estime o número de iterações necessárias para garantir um erro menor que 10^-3, sem utilizar o conhecimento de solução.

Passo 1

O exercício pede duas coisas sobre o sistema
[
2 & -1 & 8 -1 & tfrac12 & 1 0 & 2 & 1 xyz = 4tfrac12tfrac32

.
]
(a) Fazer a decomposição (talvez com permutação de linhas) e usar isso para achar a solução exata.
(b) Reordenar incógnitas e equações de modo que o Gauss–Seidel convirja, dar uma iteração a partir de , estimar o erro dessa iteração e quantas iterações são necessárias para erro abaixo de .
Para (a) vamos usar eliminação de Gauss com frações; para (b) criterioso de Sassenfeld para garantir convergência.

Passo 2

Parte (a): LU sem permutar
  1. A mat. A= 2 & -1 & 8 -1 & tfrac12 & 1 0 & 2 & 1 é underbrace 2 & -1 & 8[3pt] 0 & 1 & 5[3pt] 0 & 2 & 1 U^(1) , L^(1)= 1 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 0 & 0 & 1
  2. Elimino abaixo de U= 2 & -1 & 8 0 & 1 & 5 0 & 0 & -9 , L= 1 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 0 & 2 & 1 :
    y1=4, y2=tfrac12 -(-tfrac12)cdot4=tfrac12+2=tfrac52, y3=tfrac32 -0cdot y1 -2cdot y2 =tfrac32 -2cdottfrac52 =tfrac32 -5 = -tfrac72 .
    Subtraio x3 = y3-9 = -7/2-9 = 718,[6pt] x2 = y2 -5,x3 = tfrac52 -5cdottfrac718 = tfrac45-3518 = tfrac1018 = tfrac59,[6pt] x1 = 4 + x2 -8x32 = 4 + tfrac59 -8cdottfrac7182 = 26/182 = 1318 linha 1 da linha 2, e linha 3 fica igual (pois ).
    Resultado após isso:
  3. Agora elimino abaixo de :
    . Subtraio linha 2 de linha 3, dando
  4. Agora . Para resolver faço e depois .
    • :
    • :

Passo 3

Parte (b): reordenação e critério de Sassenfeld
  1. Escolhemos a permutação de incógnitas
    8z - y + 2x = 4, z +2y +0x = tfrac32, z +tfrac12y - x = tfrac12
    e as equações na ordem original beta1 = |-1|+|2||8| = 38=0.375, beta2 = |1|beta1 + |0||2| = 0.3752=0.1875, beta3 = |1|beta1 + |tfrac12|beta2|-1| = 0.375 + 0.5cdot0.1875 = 0.46875 . Isso gera o sistema
  2. Aplicamos o critério de Sassenfeld para garantir convergência de Gauss–Seidel:
    definimos Como , o Gauss–Seidel converge.

Passo 4

Primeira iteração a partir de
x^(0)=(x0,y0,z0)=(0,-tfrac12,1) ;longrightarrow; (z0,y0,x0)=(1,,-tfrac12,,0)
no sistema reordenado:
z = 4 + y - 2x8, y = tfrac32 - z2, x = z + tfrac12,y - tfrac12
Calculando passo a passo:
z1 &= 4 +(-tfrac12) -2cdot08 = 7/28 = 716, y1 &= tfrac32 - z12 = tfrac32 -tfrac7162 = 1732, x1 &= z1 + tfrac12,y1 - tfrac12 = 716 + 1764 - 12 = 1364
Voltando à ordem x^(1) = l(tfrac1364,,tfrac1732,,tfrac716r) :

Passo 5

Erro após essa iteração (norma infinito):
|x^(1) - x^(0)|infty = maxl|tfrac1364-0,,,tfrac1732 -(-tfrac12),,,tfrac716-1r| = max0.2031,;1.03125,;0.5625=1.03125
Pelo critério de Sassenfeld, o parâmetro de convergência é
|x - x^(k)| ;<=; beta1-beta,|x^(k) - x^(k-1)| .
Então temos o estimador de erro
beta^k ;<=;(1-beta),10^-3|x^(1)-x^(0)| Longrightarrow kapprox ln!l(tfrac0.53125cdot10^-31.03125r)ln(0.46875) approx 10
Para garantir sem conhecer , basta

Resposta

(a) A decomposição é
L=1&0&0-tfrac12&1&00&2&1, U=2&-1&80&1&50&0&-9, (x,y,z)=l(tfrac1318,,tfrac59,,tfrac718r)
(b) Reordenando incógnitas em x^(1)=(tfrac1364,,tfrac1732,,tfrac716), |x^(1)-x^(0)|infty=1.03125, beta=0.46875, e equações em obtemos convergência pelo critério de Sassenfeld.
Uma iteração a partir de
e cerca de 10 iterações são necessárias para erro abaixo de .

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