(a) Determine a decomposição L U da matriz do sistema ou da matriz obtida desta através de uma permutação de linhas. Utilize a decomposição para resolver o sistema. (Obs.: Trabalhe com frações.)
(b) Reescreva o sistema, ordenando as incógnitas e equações de forma que o método de Gauss-Seidel seja convergente quando aplicado ao sistema resultante. Calcule uma iteração do método a partir de x^(0)=(0,-12, 1). Delimite o erro após esta iteração e estime o número de iterações necessárias para garantir um erro menor que 10^-3, sem utilizar o conhecimento de solução.
Passo 1
O exercício pede duas coisas sobre o sistema
[ 2 & -1 & 8 -1 & tfrac12 & 1 0 & 2 & 1 xyz = 4tfrac12tfrac32
.
]
(a) Fazer a decomposição (talvez com permutação de linhas) e usar isso para achar a solução exata.
(b) Reordenar incógnitas e equações de modo que o Gauss–Seidel convirja, dar uma iteração a partir de , estimar o erro dessa iteração e quantas iterações são necessárias para erro abaixo de .
Para (a) vamos usar eliminação de Gauss com frações; para (b) criterioso de Sassenfeld para garantir convergência.
Agora elimino abaixo de : . Subtraio linha 2 de linha 3, dando
Agora . Para resolver faço e depois .
:
:
Passo 3
Parte (b): reordenação e critério de Sassenfeld
Escolhemos a permutação de incógnitas 8z - y + 2x = 4, z +2y +0x = tfrac32, z +tfrac12y - x = tfrac12
e as equações na ordem original beta1 = |-1|+|2||8| = 38=0.375, beta2 = |1|beta1 + |0||2| = 0.3752=0.1875, beta3 = |1|beta1 + |tfrac12|beta2|-1| = 0.375 + 0.5cdot0.1875 = 0.46875 . Isso gera o sistema
Aplicamos o critério de Sassenfeld para garantir convergência de Gauss–Seidel:
definimosComo , o Gauss–Seidel converge.
(b) Reordenando incógnitas em x^(1)=(tfrac1364,,tfrac1732,,tfrac716), |x^(1)-x^(0)|infty=1.03125, beta=0.46875, e equações em obtemos convergência pelo critério de Sassenfeld.
Uma iteração a partir de dá
e cerca de 10 iterações são necessárias para erro abaixo de .