O censo realizado em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais precisa avaliar a taxa de crescimento populacional. Com isso, se
denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
é chamada de taxa de crescimento populacional no instante
.
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
é este número, então a taxa de crescimento populacional é proporcional à
Determine a população em um instante
qualquer, sabendo que
.
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se
Passo 1
Beleza! A gente tem um modelo de crescimento logístico da população:
- Conteúdo: é uma EDO (equação diferencial ordinária) separável.
- O enunciado diz que a taxa de crescimento relativa
é proporcional a . - Vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e integrar direitinho, depois aplicar a condição inicial
.
Passo 2
Escreve a equação diferencial de forma mais comum:
onde
Passo 3
Agora separamos as variáveis
e
:
Passo 4
Para integrar a parte de
, fazemos frações parciais. Primeiro note que
A decomposição dá:
Passo 5
Integramos cada lado:
No lado esquerdo:
No direito:
Juntando e tirando uma constante só
Passo 6
Exponenciando para isolar
:
Então
Passo 7
Usa a condição inicial
:
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