O censo realizado em uma pequena cidade do interior de Minas Gerais precisa avaliar a taxa de crescimento populacional. Com isso, se p(t) denota determinada população em função do tempo, então a quantidade p^prime(t) / p(t) é chamada de taxa de crescimento populacional no instante t.
b) Um outro modelo matemático foi utilizado, no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Se N é este número, então a taxa de crescimento populacional é proporcional à (1-pN) Determine a população em um instante t qualquer, sabendo que p(0)=p 0.

Passo 1

Beleza! A gente tem um modelo de crescimento logístico da população:
  • Conteúdo: é uma EDO (equação diferencial ordinária) separável.
  • O enunciado diz que a taxa de crescimento relativa p'(t)p(t) é proporcional a l(1 - pNr).
  • Vamos precisar separar variáveis, usar frações parciais e integrar direitinho, depois aplicar a condição inicial p(0)=p0.

Passo 2

Escreve a equação diferencial de forma mais comum:
p'(t) = k,p(t),l(1 - p(t)Nr),
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Agora separamos as variáveis p e t:
dpp,(1 - p/N) = k,dt

Passo 4

Para integrar a parte de p, fazemos frações parciais. Primeiro note que
1p,(1 - p/N) = Np,(N - p)
A decomposição dá:
Np,(N - p) = 1p + 1,N - p,

Passo 5

Integramos cada lado:
integral!l(1p + 1N - pr),dp = integral k,dt
No lado esquerdo:
integral 1p,dp + integral 1N - p,dp = ln|p| - ln|N - p| + C1
No direito:
integral k,dt = k,t + C2
Juntando e tirando uma constante só C:
ln!pN - p = k,t + C

Passo 6

Exponenciando para isolar p:
pN - p = A,e^k,t, A = e^C
Então
p = A,e^k,t,(N - p) ;Rightarrow; p,(1 + A,e^k,t) = A,N,e^k,t
Rightarrow; p(t) = A,N,e^k,t1 + A,e^k,t

Passo 7

Usa a condição inicial p(0)=p0:
p(0)=A,N1 + A = p0 ;Rightarrow; A = p0,N - p0,
Logo
p(t) = p0N - p0,N,e^k,t1 + p0N - p0,e^k,t = N1 + l(N - p0p0r),e^-k,t!

Resposta

boxedp(t) = N1 + l(tfracN - p0p0r),e^-k,t,

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