Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de 6 L / min e a mistura escoa a 4 L / min, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular a parada:
Você tem um tanque com 100 L de solução que já tem 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, agitando sempre pra manter tudo homogêneo. A questão b) quer saber qual a concentração de sal (em g/L) depois de 35 min.
Conteúdo envolvido: equação diferencial para problemas de mistura. A gente vai precisar montar a equação de variação da massa de sal, resolver por separação de variáveis e depois avaliar em .

Passo 2

Primeiro, definimos duas funções:
dVdt = 6 - 4 = 2, = volume da solução no tempo V(t) = 100 + 2t , e
dSdt = 0 - 4cdotSV(t) = -4,S100+2t = massa de sal (em g) no tanque no tempo .
  1. Como entra 6 L/min e sai 4 L/min, a variação do volume é
logo
  1. A massa de sal muda só por saída (já que a água que entra não tem sal). A taxa de saída de sal é a concentração atual ( ) vezes a vazão de saída (4 L/min). Logo

Passo 3

Agora resolvemos a equação diferencial
dSdt = -4,S100+2t
É separável:
dSS = -4,dt100+2t
Integramos dos dois lados:
integral dSS = -4integral dt100+2t Longrightarrow ln|S| = -4cdot 12 ln|100+2t| + C
(observe que ln S = -2ln(100+2t) + C Longrightarrow S = e^C,(100+2t)^-2 ).
Então
S(t) = K,(100+2t)^-2
Chamando 30 = Kcdot(100)^-2 Longrightarrow K = 30cdot100^2 = 300000 , temos
S(t) = 300000(100+2t)^2
Para achar , usamos a condição inicial :
Logo

Passo 4

Agora avaliamos em S(35) = 300000(100+2cdot35)^2 = 300000170^2 = 30000028900 approx 10,38 g min:
Volume: c(35) = S(35)V(35) = 10,38170 approx 0,0611 g/L L.
Massa de sal:
Concentração = massa/volume =

Resposta

A concentração de sal após 35 minutos é aproximadamente
boxed0,0611 g/L

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