Um reservatório possui 100 litros de uma solução contendo 30 g de sal. Água (sem sal) entra no tanque com uma vazão de
e a mistura escoa a
, considerando que a concentração se mantém uniforme por agitação.
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
b) Determinar qual a concentração de sal no tanque ao final de 35 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular a parada:
Você tem um tanque com 100 L de solução que já tem 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, agitando sempre pra manter tudo homogêneo. A questão b) quer saber qual a concentração de sal (em g/L) depois de 35 min.
Conteúdo envolvido: equação diferencial para problemas de mistura. A gente vai precisar montar a equação de variação da massa de sal, resolver por separação de variáveis e depois avaliar em .
Você tem um tanque com 100 L de solução que já tem 30 g de sal. Entra água pura a 6 L/min e sai mistura a 4 L/min, agitando sempre pra manter tudo homogêneo. A questão b) quer saber qual a concentração de sal (em g/L) depois de 35 min.
Conteúdo envolvido: equação diferencial para problemas de mistura. A gente vai precisar montar a equação de variação da massa de sal, resolver por separação de variáveis e depois avaliar em
Passo 2
Primeiro, definimos duas funções:
= volume da solução no tempo
, e
= massa de sal (em g) no tanque no tempo
.
- Como entra 6 L/min e sai 4 L/min, a variação do volume é
logo
- A massa de sal muda só por saída (já que a água que entra não tem sal). A taxa de saída de sal é a concentração atual (
) vezes a vazão de saída (4 L/min). Logo
Passo 3
Agora resolvemos a equação diferencial
É separável:
Integramos dos dois lados:
(observe que
).
Então
Então
Chamando
, temos
Para achar
, usamos a condição inicial
:
Logo
Passo 4
Agora avaliamos em
min:
Volume: L.
Massa de sal:
Volume:
Massa de sal:
Concentração
= massa/volume =
Resposta
A concentração de sal após 35 minutos é aproximadamente