Considere a equação diferencial y^prime=A y+h(t) onde:
A=[ccc 1 & 1 & 0 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 ] h(t)=[c 0 0 e^t ]
a) Determine a solução geral da equação homogénea associada à equação.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão fala: a gente tem o sistema
y' = A,y + h(t)
e na parte (a) a gente só vai olhar a parte homogênea
y' = A,y
O assunto aqui é “sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes” – a ideia é achar a solução geral desse sistema usando autovalores, autovetores e, se precisar, cadeias de vetores generalizados (porque nem sempre a matriz é diagonalizável). Então, pra resolver, vamos:
  1. montar o polinômio característico de ,
  2. achar os autovalores,
  3. achar autovetores e ver se precisamos de vetores generalizados,
  4. montar a solução geral .

Passo 2

Primeiro a parada é escrever o polinômio característico de
A= 1&1&0 0&2&-1 0&1&0
A gente faz det! 1-lambda & 1 & 0 0 & 2-lambda & -1 0 & 1 & -lambda =(1-lambda)det!2-lambda & -11 & -lambda :
det2-lambda & -11 & -lambda =(2-lambda)(-lambda)-(-1)cdot1 =-2lambda+lambda^2+1 =lambda^2-2lambda+1 =(lambda-1)^2
Calcula o (1-lambda),(lambda-1)^2=-(lambda-1)^3 :
Então o polinômio todo é

Passo 3

Isso nos diz que o único autovalor é
lambda=1
com multiplicidade algébrica 3. Agora a gente vê a multiplicidade geométrica (quantos autovetores independentes) resolvendo .

Passo 4

Montando A-I= 0&1&0 0&1&-1 0&1&-1 :
v1=(1,0,0)
Resolvendo
com , as equações dão
  1. ,
  2. .
    Sobrou livre. Então o espaço de autovetores é gerado por
Só um autovetor, então a matriz NÃO é diagonalizável e a gente precisa de cadeia de vetores generalizados pra formar a base de Jordan.

Passo 5

Vamos achar 0&1&0 0&1&-1 0&1&-1 x2y2z2 = 100, tal que v2=(0,1,1) . Escrevendo v3=(0,0,-1) e resolvendo
[

,
]
a gente tira
,
.
Escolhe pra simplificar. Então
Agora tal que . Fazendo o mesmo, a gente chega em

Passo 6

Com a cadeia e^At=!e^t,J a gente sabe que
yh(t)=C1,e^t,v1;+;C2,e^tl(t,v1+v2r);+;C3,e^tl(tfract^22v1+t,v2+v3r)
onde é o bloco de Jordan 3×3 pra . O jeito prático é lembrar que a solução geral fica:

Resposta

A solução geral da parte homogênea boxedyh(t) =e^tl[ C1,(1,0,0)^T ;+; C2,(t,1,1)^T ;+; C3l(tfract^22,,t,,-1r)^T r], é
com constantes arbitrárias.

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