Certas quantidades de seis e noves são adicionadas para dar um total de 126; se as quantidades de seis e noves forem invertidas, a nova soma é 114. Quantos de cada havia inicialmente?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma certa quantidade de “6” e de “9” cujos valores somam 126. Se a gente inverte a quantidade de “6” com a de “9”, a soma dá 114. A matéria aqui é sistema de equações lineares e vamos precisar montar duas equações e resolvê-las (pode ser por eliminação).

Passo 2

Primeiro, vamos chamar:
x = número de “6”
y = número de “9”
A partir daí escrevemos as duas somas:
  1. 6x + 9y = 126
  2. 9x + 6y = 114

Passo 3

Para facilitar, a gente divide cada equação por 3 (fator comum):
(1) → 2x + 3y = 42
(2) → 3x + 2y = 38
Isso não muda a solução, só deixa os números menores.

Passo 4

Agora usamos eliminação. Podemos zerar y, por exemplo. Multiplicamos a eq. (1) por 2 e a eq. (2) por 3:
2·(2x + 3y = 42) ⇒ 4x + 6y = 84
3·(3x + 2y = 38) ⇒ 9x + 6y = 114

Passo 5

Subtraindo as duas:
(9x + 6y) − (4x + 6y) = 114 − 84
5x = 30
x = 30/5 = 6
Com x = 6, voltamos em 2x + 3y = 42:
2·6 + 3y = 42
12 + 3y = 42
3y = 30
y = 30/3 = 10

Resposta

Originalmente havia 6 números “6” e 10 números “9”.

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