Um teatro cobra pelo ingresso de um adulto e pelo ingresso de um adu por criança. Em uma determinada noite foram arrecadados 0,75. Admitindo que o número de adultos foi maior que o de crianças, quantas pessoas compareceram?

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: um teatro cobra $1,80 por adulto e $0,75 por criança. Numa noite arrecadou $90. Sabendo que teve mais adultos do que crianças, queremos saber quantas pessoas foram ao teatro.
Conteúdo: equações do 1º grau e resolução de equação diofantina (inteiros).
O que precisamos:
  • Montar a equação usando variáveis para adultos (a) e crianças ©.
  • Lidar com decimais (multiplicar pra evitar vírgulas).
  • Resolver a equação em inteiros e aplicar as condições (a>c, a,c ≥ 0).

Passo 2

Vamos chamar:
a = número de ingressos de adulto
c = número de ingressos de criança
A partir do enunciado temos a equação:
1,80,a ;+; 0,75,c ;=; 90

Passo 3

Pra ficar mais tranquilo, multiplico tudo por 100 pra eliminar decimais:
180,a ;+; 75,c ;=; 9000
E podemos simplificar dividindo por 15:
12,a ;+; 5,c ;=; 600

Passo 4

Queremos 5,c = 600 - 12,a Longrightarrow c = 600 - 12,a5 = 120 - 2,4,a inteiros. Reescrevo a equação isolando :
Para ser inteiro, tem que ser inteiro, ou seja inteiro. Isso ocorre quando é múltiplo de 5. Então ponho , com inteiro.

Passo 5

Substituindo c = 120 - 2,4,(5k) = 120 - 12k em a = 5k, c = 120 - 12k :
Logo todas as soluções inteiras vêm de

Passo 6

Agora, aplico as condições:
  1. 5k > 120 - 12k ;Longrightarrow; 17k > 120 ;Longrightarrow; k > tfrac12017approx7,06 ;Longrightarrow; k >= 8 e .
    • .
    • .
      Assim .
  2. Queremos mais adultos que crianças: .
  3. Se o enunciado espera ao menos uma criança, a gente exclui , ou seja .
Logo só pode ser 8 ou 9.

Passo 7

Calculo os casos:
  • Para :
    , .
    Total = .
  • Para :
    , .
    Total = .

Resposta

Existem duas possibilidades de público, considerando adultos em maior número e ao menos uma criança:
64 pessoas ou 57 pessoas.

Exercícios relacionados