Quando o sr. Smith descontou um cheque em seu banco, o caixa confundiu o número de centavos com o número de dólares e vice-versa. Sem saber disso, o sr. Smith gastou 68 centavos e, em seguida, para sua surpresa, percebeu que ele tinha o dobro do montante do cheque original. Determine o menor valor com o qual o cheque poderia ter sido preenchido.
[Sugestão: Se
é o número de dólares e
é o número de centavos do cheque, então
.]
[Sugestão: Se
Passo 1
Beleza, amigo, vamos ver o que a questão está pedindo:
– O Sr. Smith fez um cheque de dólares e
centavos.
– O caixa trocou as casas (colocou dólares e
centavos).
– Sem saber disso, o Sr. Smith gastou 68 centavos e aí viu que ainda tinha o dobro do valor original do cheque.
Isso envolve montar uma equação e resolver para e
inteiros, com
. Vamos usar álgebra básica e um pouquinho de teoria de congruências para achar o menor valor.
– O Sr. Smith fez um cheque de
– O caixa trocou as casas (colocou
– Sem saber disso, o Sr. Smith gastou 68 centavos e aí viu que ainda tinha o dobro do valor original do cheque.
Isso envolve montar uma equação e resolver para
Passo 2
Montando a equação conforme a sugestão:
.
Aqui:
– é o valor que ele recebeu por engano (dólares =
, centavos =
).
– Ele gasta 68 centavos, fica com .
– Isso é igual a duas vezes o valor certo do cheque, .
Aqui:
–
– Ele gasta 68 centavos, fica com
– Isso é igual a duas vezes o valor certo do cheque,
Passo 3
Vamos organizar essa equação:
100y + x − 68 = 200x + 2y
⇔ 100y − 2y + x − 200x = 68
⇔ 98y − 199x = 68.
100y + x − 68 = 200x + 2y
⇔ 100y − 2y + x − 200x = 68
⇔ 98y − 199x = 68.
Então nossa equação-chave é
Passo 4
Para resolver essa diofantina, podemos trabalhar módulo 98:
199 ≡ 3 (mod 98), pois 199 − 2·98 = 3.
Substituindo na equação original:
199 ≡ 3 (mod 98), pois 199 − 2·98 = 3.
Substituindo na equação original:
Passo 5
Agora temos
Para isolar
, achamos o inverso de 3 módulo 98. Como
3·33 = 99 ≡ 1 (mod 98),
o inverso de 3 é 33. Multiplicando:
3·33 = 99 ≡ 1 (mod 98),
o inverso de 3 é 33. Multiplicando:
Então
Passo 6
Voltando à equação
, achamos
:
Dividindo tudo por 98:
porque
.
Passo 7
Temos
Como
é centavos, precisa ficar entre 0 e 99. Logo
.
Para ter , basta
, ou seja,
(inteiro).
Então o único possível é 0.
Para ter
Então o único
Resposta
O menor valor do cheque é
x = 10 dólares e y = 21 centavos, ou seja, $10,21.
x = 10 dólares e y = 21 centavos, ou seja, $10,21.