Quando o sr. Smith descontou um cheque em seu banco, o caixa confundiu o número de centavos com o número de dólares e vice-versa. Sem saber disso, o sr. Smith gastou 68 centavos e, em seguida, para sua surpresa, percebeu que ele tinha o dobro do montante do cheque original. Determine o menor valor com o qual o cheque poderia ter sido preenchido.
[Sugestão: Se x é o número de dólares e y é o número de centavos do cheque, então 100 y+x-68=2(100 x+y).]

Passo 1

Beleza, amigo, vamos ver o que a questão está pedindo:
– O Sr. Smith fez um cheque de dólares e centavos.
– O caixa trocou as casas (colocou dólares e centavos).
– Sem saber disso, o Sr. Smith gastou 68 centavos e aí viu que ainda tinha o dobro do valor original do cheque.
Isso envolve montar uma equação e resolver para e inteiros, com . Vamos usar álgebra básica e um pouquinho de teoria de congruências para achar o menor valor.

Passo 2

Montando a equação conforme a sugestão:
.
Aqui:
é o valor que ele recebeu por engano (dólares = , centavos = ).
– Ele gasta 68 centavos, fica com .
– Isso é igual a duas vezes o valor certo do cheque, .

Passo 3

Vamos organizar essa equação:
100y + x − 68 = 200x + 2y
⇔ 100y − 2y + x − 200x = 68
⇔ 98y − 199x = 68.
Então nossa equação-chave é
98y ;-; 199x ;=; 68

Passo 4

Para resolver essa diofantina, podemos trabalhar módulo 98:
199 ≡ 3 (mod 98), pois 199 − 2·98 = 3.
Substituindo na equação original:
98y - 199x = 68 ;Longrightarrow; -199x equiv 68 pmod98 ;Longrightarrow; -3x equiv 68 pmod98 ;Longrightarrow; 3x equiv -68 equiv 30 pmod98

Passo 5

Agora temos
3x equiv 30 pmod98
Para isolar x equiv 33cdot30 = 990 equiv 990 - 10cdot98 = 990 - 980 = 10 pmod98 , achamos o inverso de 3 módulo 98. Como
3·33 = 99 ≡ 1 (mod 98),
o inverso de 3 é 33. Multiplicando:
x = 98k + 10, kinZ
Então

Passo 6

Voltando à equação 98y = 199x + 68 = 199(98k+10) + 68 = 199·98k + 1990 + 68 , achamos y = 199k + 1990 + 6898 = 199k + 205898 = 199k + 21, :
Dividindo tudo por 98:
porque .

Passo 7

Temos
x = 98k +10, y = 199k +21
Como é centavos, precisa ficar entre 0 e 99. Logo
.
Para ter , basta , ou seja, (inteiro).
Então o único possível é 0.

Resposta

O menor valor do cheque é
x = 10 dólares e y = 21 centavos, ou seja, $10,21.

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