Um fazendeiro adquiriu 100 cabeças de gado ao custo total de
. Os preços foram: bezerros,
cada; cordeiros,
cada; leitão,
cada. Se o fazendeiro obteve ao menos um animal de cada tipo, quantos de cada ele comprou?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o fazendeiro comprou 100 animais no total, gastou $ 4000, e cada bezerro vale $ 120, cada cordeiro $ 50 e cada leitão $ 25.
Conteúdo: sistema de equações lineares e equações diofantinas (soluções inteiras). Vamos usar variáveis para cada tipo de animal, montar as equações de quantidade e de custo e achar todas as soluções inteiras positivas (pelo menos 1 de cada).
Conteúdo: sistema de equações lineares e equações diofantinas (soluções inteiras). Vamos usar variáveis para cada tipo de animal, montar as equações de quantidade e de custo e achar todas as soluções inteiras positivas (pelo menos 1 de cada).
Passo 2
Definimos:
x = número de bezerros
y = número de cordeiros
z = número de leitões
x = número de bezerros
y = número de cordeiros
z = número de leitões
A partir do enunciado, temos duas equações:
- quantidade total
- custo total
Passo 3
Vamos eliminar
. Da 1):
Substituindo em 2):
Desenvolvendo:
(120x - 25x) + (50y - 25y) = 4000 - 2500
][
95x + 25y = 1500.
]
]
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:
Isso é uma equação diofantina em
. Para
ficar inteiro,
deve deixar resto 0 em mod 5, ou seja
. Como
e
é invertível, isso implica
. Logo
,
.
Substituindo
em
:
95k + 5y = 300
][
5y = 300 - 95k
][
y = 60 - 19k.
]
]
E daí
Passo 4
Como queremos pelo menos um de cada tipo, exigimos
De
vem
, ou seja
(inteiro).
De :
.
De :
dá sempre verdade para
.
De
De
Portanto
. São três casos:
- k=1:
, , . - k=2:
, , . - k=3:
, , .
Resposta
Existem três maneiras de repartir a compra respeitando tudo:
(5 bezerros, 41 cordeiros, 54 leitões), ou
(10 bezerros, 22 cordeiros, 68 leitões), ou
(15 bezerros, 3 cordeiros, 82 leitões).
(5 bezerros, 41 cordeiros, 54 leitões), ou
(10 bezerros, 22 cordeiros, 68 leitões), ou
(15 bezerros, 3 cordeiros, 82 leitões).