Um fazendeiro adquiriu 100 cabeças de gado ao custo total de . Os preços foram: bezerros, Os preços foram: bezerros, cada; cordeiros, 120 cada; leitão, cada. Se o fazendeiro obteve ao menos um animal de cada tipo, quantos de cada ele comprou?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o fazendeiro comprou 100 animais no total, gastou $ 4000, e cada bezerro vale $ 120, cada cordeiro $ 50 e cada leitão $ 25.
Conteúdo: sistema de equações lineares e equações diofantinas (soluções inteiras). Vamos usar variáveis para cada tipo de animal, montar as equações de quantidade e de custo e achar todas as soluções inteiras positivas (pelo menos 1 de cada).

Passo 2

Definimos:
x = número de bezerros
y = número de cordeiros
z = número de leitões
A partir do enunciado, temos duas equações:
  1. quantidade total
x + y + z = 100
  1. custo total
120x + 50y + 25z = 4000

Passo 3

Vamos eliminar z = 100 - x - y . Da 1):
120x + 50y + 25(100 - x - y) = 4000
Substituindo em 2):
120x + 50y + 2500 - 25x - 25y = 4000
Desenvolvendo:
(120x - 25x) + (50y - 25y) = 4000 - 2500 [
(120x - 25x) + (50y - 25y) = 4000 - 2500
][
95x + 25y = 1500.
]
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:
95x + 25y = 1500
Isso é uma equação diofantina em 19x + 5y = 300 . Para 19(5k) + 5y = 300 ficar inteiro, 95k + 5y = 300 deve deixar resto 0 em mod 5, ou seja 5y = 300 - 95k . Como y = 60 - 19k e z = 100 - x - y = 100 - 5k - (60 - 19k) = 40 + 14k é invertível, isso implica . Logo , .
Substituindo em :
[
95k + 5y = 300
][
5y = 300 - 95k
][
y = 60 - 19k.
]
E daí

Passo 4

Como queremos pelo menos um de cada tipo, exigimos
x = 5k >= 1, y = 60 - 19k >= 1, z = 40 + 14k >= 1
De vem , ou seja (inteiro).
De : .
De : dá sempre verdade para .
Portanto . São três casos:
  • k=1: , , .
  • k=2: , , .
  • k=3: , , .

Resposta

Existem três maneiras de repartir a compra respeitando tudo:
(5 bezerros, 41 cordeiros, 54 leitões), ou
(10 bezerros, 22 cordeiros, 68 leitões), ou
(15 bezerros, 3 cordeiros, 82 leitões).

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