([CHAPRA, 2008], Problema 6.6 - adaptado) Determine a menor raiz real de \mathrm{f}(\mathrm{x})=-1221 \mathrm{x}+18 \mathrm{x}^{2}-2.4 \mathrm{x}^{3} usando o método da secante para um valor de \varepsilon_{s} correspondente a três algarismos significativos.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a menor raiz real da função
f(x) = -12 + 21x + 18x^{2} - 2{,}4x^{3}
usando o método da secante para uma precisão correspondente a três algarismos significativos. Informações dadas:
a função f(x) está acima;
o método exigido é o método da secante;
a exigência de precisão é “três algarismos significativos” (vamos transformar isso em um critério de parada numérico nas próximas etapas).
Não inicio a resolução aqui; só organizei o que o problema pede e o que foi dado.
Passo 2
O que é o método da secante e qual critério vamos usar (aula rápida, passo a passo):
Ideia do método: aproximamos a raiz de f(x)=0 por interseção da reta que passa por dois pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)) com o eixo x. Essa reta é a “secante” ao gráfico de f.
Explicando cada termo: x_{k-1} e x_k são as duas últimas aproximações; f(x_{k-1}) e f(x_k) são os valores da função nessas aproximações; o quociente dá a inclinação da secante e multiplicado por f(x_k) ajusta x_k para a nova aproximação x_{k+1}.
Critério de parada para “três algarismos significativos”: para n algarismos significativos usa-se o tolerância percentual
Paramos quando \varepsilon_a \le \varepsilon_s = 0{,}05\%.
Escolha das aproximações iniciais: como f(0)=-12<0 e f(1)=24{,}6>0, existe uma raiz entre 0 e 1. Vou escolher x_0=0 e x_1=1 (essas escolhas são naturais e simples para aplicar a secante).
Agora aplico o método com essas escolhas e calculo passo a passo os valores de f, x e \varepsilon_a.
Comparando com o critério: 0{,}002467\% < \varepsilon_s = 0{,}05\%. Logo, atingimos a precisão exigida de três algarismos significativos e podemos parar. A aproximação final é x \approx 0{,}4252255.