([CHAPRA, 2008], Problema 6.6 - adaptado) Determine a menor raiz real de \mathrm{f}(\mathrm{x})=-12 21 \mathrm{x}+18 \mathrm{x}^{2}-2.4 \mathrm{x}^{3} usando o método da secante para um valor de \varepsilon_{s} correspondente a três algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a menor raiz real da função
f(x) = -12 + 21x + 18x^{2} - 2{,}4x^{3}
usando o método da secante para uma precisão correspondente a três algarismos significativos. Informações dadas:
  • a função f(x) está acima;
  • o método exigido é o método da secante;
  • a exigência de precisão é “três algarismos significativos” (vamos transformar isso em um critério de parada numérico nas próximas etapas).
    Não inicio a resolução aqui; só organizei o que o problema pede e o que foi dado.

Passo 2

O que é o método da secante e qual critério vamos usar (aula rápida, passo a passo):
  • Ideia do método: aproximamos a raiz de f(x)=0 por interseção da reta que passa por dois pontos (x_{k-1},f(x_{k-1})) e (x_k,f(x_k)) com o eixo x. Essa reta é a “secante” ao gráfico de f.
  • Fórmula de iteração (secante):
x_{k+1} = x_k - f(x_k)\,\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}.
Explicando cada termo: x_{k-1} e x_k são as duas últimas aproximações; f(x_{k-1}) e f(x_k) são os valores da função nessas aproximações; o quociente dá a inclinação da secante e multiplicado por f(x_k) ajusta x_k para a nova aproximação x_{k+1}.
  • Critério de parada para “três algarismos significativos”: para n algarismos significativos usa-se o tolerância percentual
\varepsilon_s = 0{,}5 \times 10^{\,2-n}\,\%.
Para n=3:
\varepsilon_s = 0{,}5 \times 10^{\,2-3}\,\% = 0{,}5 \times 10^{-1}\,\% = 0{,}05\%.
No procedimento prático, calculamos o erro aproximado percentual em cada iteração como
\varepsilon_a = \left|\frac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}\right|\times 100\%.
Paramos quando \varepsilon_a \le \varepsilon_s = 0{,}05\%.
  • Escolha das aproximações iniciais: como f(0)=-12<0 e f(1)=24{,}6>0, existe uma raiz entre 0 e 1. Vou escolher x_0=0 e x_1=1 (essas escolhas são naturais e simples para aplicar a secante).
Agora aplico o método com essas escolhas e calculo passo a passo os valores de f, x e \varepsilon_a.

Passo 3

Avaliações iniciais:
f(0) = -12, \qquad f(1) = -12 + 21(1) + 18(1)^2 - 2{,}4(1)^3 = 24{,}6.
Aplicando a fórmula da secante para obter x_2:
x_2 = 1 - 24{,}6\cdot\frac{1-0}{24{,}6-(-12)} = 1 - \frac{24{,}6}{36{,}6} = 0{,}3278688525\approx 0{,}327869.
Erro aproximado (em percentagem) relativo à nova estimativa:
\varepsilon_a = \left|\frac{0{,}327869-1}{0{,}327869}\right|\times100\%\approx 204{,}9\% > 0{,}05\% \quad\text{(não parar)}.ã
Calcule f(x_2):
f(0{,}327869)\approx -12 + 21(0{,}327869) + 18(0{,}327869)^2 - 2{,}4(0{,}327869)^3 \approx -3{,}26516.

Passo 4

Iteração para x_3 usando x_1=1 e x_2=0{,}327869:
x_3 = 0{,}327869 - (-3{,}26516)\cdot\frac{0{,}327869-1}{-3{,}26516-24{,}6}.
Calculemos passo a passo:
  • x_2-x_1 = -0{,}672131.
  • f(x_2)-f(x_1) = -3{,}26516 - 24{,}6 = -27{,}86516.
  • Numerador f(x_2)(x_2-x_1) = (-3{,}26516)(-0{,}672131) \approx 2{,}19402.
  • Fração \approx 2{,}19402/(-27{,}86516) \approx -0{,}078752.
    Portanto
x_3 \approx 0{,}327869 - (-0{,}078752) = 0{,}406621.
Erro aproximado:
\varepsilon_a = \left|\frac{0{,}406621-0{,}327869}{0{,}406621}\right|\times100\%\approx 19{,}37\% > 0{,}05\%.
Calcule f(x_3):
f(0{,}406621)\approx -0{,}646167.

Passo 5

Iteração para x_4 usando x_2=0{,}327869 e x_3=0{,}406621:
x_4 = 0{,}406621 - (-0{,}646167)\cdot\frac{0{,}406621-0{,}327869}{-0{,}646167-(-3{,}26516)}.
Cálculos:
  • x_3-x_2 = 0{,}078752.
  • f(x_3)-f(x_2) = -0{,}646167 - (-3{,}26516) = 2{,}61899.
  • Numerador f(x_3)(x_3-x_2) = (-0{,}646167)(0{,}078752)\approx -0{,}050912.
  • Fração \approx -0{,}050912/2{,}61899 \approx -0{,}019443.
    Então
x_4 \approx 0{,}406621 - (-0{,}019443) = 0{,}426064.
Erro aproximado:
\varepsilon_a = \left|\frac{0{,}426064-0{,}406621}{0{,}426064}\right|\times100\%\approx 4{,}563\% > 0{,}05\%.
Calcule f(x_4):
f(0{,}426064)\approx 0{,}0294954.

Passo 6

Iteração para x_5 usando x_3=0{,}406621 e x_4=0{,}426064:
x_5 = 0{,}426064 - 0{,}0294954\cdot\frac{0{,}426064-0{,}406621}{0{,}0294954-(-0{,}646167)}.
Cálculos:
  • x_4-x_3 = 0{,}019443.
  • f(x_4)-f(x_3) = 0{,}0294954 - (-0{,}646167) = 0{,}6756624.
  • Numerador f(x_4)(x_4-x_3) = 0{,}0294954\cdot 0{,}019443 \approx 0{,}0005734.
  • Fração \approx 0{,}0005734/0{,}6756624 \approx 0{,}0008488.
    Então
x_5 \approx 0{,}426064 - 0{,}0008488 = 0{,}425215.
Erro aproximado:
\varepsilon_a = \left|\frac{0{,}425215-0{,}426064}{0{,}425215}\right|\times100\%\approx 0{,}1996\% > 0{,}05\%.
Calcule f(x_5):
f(0{,}425215)\approx -0{,}000369.

Passo 7

Iteração para x_6 usando x_4=0{,}426064 e x_5=0{,}425215:
x_6 = 0{,}425215 - (-0{,}000369)\cdot\frac{0{,}425215-0{,}426064}{-0{,}000369-0{,}0294954}.
Cálculos:
  • x_5-x_4 = -0{,}0008488.
  • f(x_5)-f(x_4) = -0{,}000369 - 0{,}0294954 = -0{,}0298644.
  • Numerador f(x_5)(x_5-x_4) = (-0{,}000369)(-0{,}0008488) \approx 3{,}133\times10^{-7}.
  • Fração \approx 3{,}133\times10^{-7}/(-0{,}0298644) \approx -1{,}049\times10^{-5}.
    Então
x_6 \approx 0{,}425215 - (-1{,}049\times10^{-5}) = 0{,}4252255.
Erro aproximado:
\varepsilon_a = \left|\frac{0{,}4252255-0{,}425215}{0{,}4252255}\right|\times100\%\approx 0{,}002467\%.
Comparando com o critério: 0{,}002467\% < \varepsilon_s = 0{,}05\%. Logo, atingimos a precisão exigida de três algarismos significativos e podemos parar. A aproximação final é x \approx 0{,}4252255.

Resposta

x \approx 0{,}42523

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