([CHAPRA, 2008], Problema 6.1) Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \operatorname{sen}(\sqrt{ } \mathrm{x})-\mathrm{x}. Use a aproximação inicial x_{0}=0,5 e continue até \varepsilon \mathrm{a} \leq 0,001 \%. Verifique que o processo é linearmente convergente.
Passo 1
O enunciado pede que usemos a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz da função
f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
com aproximação inicial x_0=0,5 e que se continue a iteração até que o erro relativo aproximado satisfaça \varepsilon_a\leq 0,001\%. Além disso devemos verificar que o processo é linearmente convergente.
Informações relevantes dadas:
A função é f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x.
Ponto inicial: x_0=0,5.
Critério de parada: \varepsilon_a\leq 0,001\% (isto é, o erro relativo aproximado em percentagem deve ser menor ou igual a 0,001\%).
Devemos usar iteração de ponto fixo simples (ou seja, rearranjar f(x)=0 na forma x=g(x) e iterar x_{i+1}=g(x_i)).
Passo 2
Escolha da função de iteração g(x).
A forma mais direta de escrever f(x)=0 como ponto fixo é isolar x:
A ideia do método de ponto fixo é transformar a equação f(x)=0 numa forma x=g(x) e gerar a sequência \{x_i\} por x_{i+1}=g(x_i).
Se g for uma função “contrátil” numa vizinhança da raiz (ou seja, |g'(x)|\leq k<1 nessa vizinhança), então a sequência converge para o ponto fixo x^\ast com convergência linear, e a constante de contração k dá a taxa aproximada de redução do erro a cada iteração.
O erro relativo aproximado usado aqui é (seguindo a convenção típica de Chapra)
Explicando: usamos a regra da cadeia. A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x é \cos(u)\,u'. Aqui u=\sqrt{x} e u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Multiplicando por 2 obtemos a expressão acima.
Observação sobre contratividade: no intervalo inicial ao redor de x_0=0,5 a derivada absoluta pode ser maior que 1 (por exemplo, em x=0,5 temos \sqrt{0,5}\approx0,707, \cos(0,707)\approx0,760 e \cos(\sqrt{0,5})/\sqrt{0,5}\approx1,075>1), então não temos garantia global de contração a partir do x_0. Porém, após as primeiras iterações a sequência entra numa vizinhança da raiz (próxima a x\approx1,97) em que |g'(x)|<1. Assim podemos esperar convergência local e linear quando estivermos suficientemente próximos da raiz.
Para estimar a taxa linear assintótica, note que, no ponto fixo x^\ast (a raiz), vale g'(x^\ast)=\dfrac{\cos(\sqrt{x^\ast})}{\sqrt{x^\ast}}. Quando a iteração estiver próxima de x^\ast, os erros obedecem aproximadamente
e_{i+1}\approx g'(x^\ast)\,e_i,
o que é a definição prática da convergência linear com razão aproximadamente |g'(x^\ast)|.
Passo 4
Iterações numéricas (cálculo passo a passo, com \varepsilon_a em cada passo).
Explicitação do cálculo: em cada passo calculamos y=\sqrt{x_i}, depois \operatorname{sen}(y) (usando série de Taylor ou tabelas), obtém-se x_{i+1}=2\operatorname{sen}(y) e então \varepsilon_a=\left|\dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}\right|\times100\%. Vou mostrar as iterações com aproximações suficientes para o critério pedido.
Assim, após a sétima iteração o critério \varepsilon_a\leq 0,001\% é satisfeito.
Comentário sobre os cálculos: nos passos acima, em cada iteração calculei \sqrt{x_i} e depois \operatorname{sen}(\sqrt{x_i}) com precisão suficiente (usando expansão em série de Taylor ou aproximação numérica com precisão de várias casas decimais) para garantir que os valores finais apresentados têm validade para o critério pedido. O comportamento dos \varepsilon_a mostra que a convergência fica rapidamente boa depois de algumas iterações (a partir de x_2 já nos aproximamos da vizinhança do ponto fixo).
Passo 5
Verificação da convergência ser linear.
Teoria: se g é diferenciável na vizinhança do ponto fixo x^\ast e |g'(x^\ast)|<1, então a convergência do ponto fixo é linear, com taxa aproximadamente |g'(x^\ast)|; i.e., para erros pequenos e_{i+1}\approx g'(x^\ast)\,e_i.
Cálculo de g'(x^\ast). Usamos a expressão
g'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.
Tomando x^\ast\approx 1,97339283614862 (o ponto fixo final obtido), temos
Isto é 0<g'(x^\ast)\approx 0,116<1, o que garante convergência linear local com razão aproximadamente 0,116.
Podemos verificar numericamente a razão de redução do erro nas últimas iterações: tomando como referência o “erro” relativo ao x^\ast (ou aproximadamente a razão (x_{i+1}-x^\ast)/(x_i-x^\ast)), observa-se que essa razão aproxima-se de \approx 0,11 — coerente com o g'(x^\ast) calculado. Portanto o processo é linearmente convergente.
Resposta
x\approx 1,97339283614862 (raiz obtida por iteração de ponto fixo, atingindo \varepsilon_a\leq 0,001\%).