([CHAPRA, 2008], Problema 6.1) Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \operatorname{sen}(\sqrt{ } \mathrm{x})-\mathrm{x}. Use a aproximação inicial x_{0}=0,5 e continue até \varepsilon \mathrm{a} \leq 0,001 \%. Verifique que o processo é linearmente convergente.

Passo 1

O enunciado pede que usemos a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz da função
f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x
com aproximação inicial x_0=0,5 e que se continue a iteração até que o erro relativo aproximado satisfaça \varepsilon_a\leq 0,001\%. Além disso devemos verificar que o processo é linearmente convergente.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x.
  • Ponto inicial: x_0=0,5.
  • Critério de parada: \varepsilon_a\leq 0,001\% (isto é, o erro relativo aproximado em percentagem deve ser menor ou igual a 0,001\%).
  • Devemos usar iteração de ponto fixo simples (ou seja, rearranjar f(x)=0 na forma x=g(x) e iterar x_{i+1}=g(x_i)).

Passo 2

Escolha da função de iteração g(x).
A forma mais direta de escrever f(x)=0 como ponto fixo é isolar x:
2\operatorname{sen}(\sqrt{x})-x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}).
Logo escolhemos
g(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x}).
A iteração de ponto fixo simples será
x_{i+1}=g(x_i)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x_i}).
Agora uma breve explicação didática do método:
  • A ideia do método de ponto fixo é transformar a equação f(x)=0 numa forma x=g(x) e gerar a sequência \{x_i\} por x_{i+1}=g(x_i).
  • Se g for uma função “contrátil” numa vizinhança da raiz (ou seja, |g'(x)|\leq k<1 nessa vizinhança), então a sequência converge para o ponto fixo x^\ast com convergência linear, e a constante de contração k dá a taxa aproximada de redução do erro a cada iteração.
  • O erro relativo aproximado usado aqui é (seguindo a convenção típica de Chapra)
\varepsilon_a=\left|\frac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}\right|\times 100\%.
Parar quando \varepsilon_a\leq 0,001\% significa que o salto relativo entre iterações é pequeno o bastante.

Passo 3

Derivada de g e condição de convergência local.
Calculemos g'(x) (vai servir para verificar taxa de convergência linear esperada):
g(x)=2\operatorname{sen}(\sqrt{x})\quad\Rightarrow\quad g'(x)=2\cos(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.
Explicando: usamos a regra da cadeia. A derivada de \operatorname{sen}(u) em relação a x é \cos(u)\,u'. Aqui u=\sqrt{x} e u'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Multiplicando por 2 obtemos a expressão acima.
Observação sobre contratividade: no intervalo inicial ao redor de x_0=0,5 a derivada absoluta pode ser maior que 1 (por exemplo, em x=0,5 temos \sqrt{0,5}\approx0,707, \cos(0,707)\approx0,760 e \cos(\sqrt{0,5})/\sqrt{0,5}\approx1,075>1), então não temos garantia global de contração a partir do x_0. Porém, após as primeiras iterações a sequência entra numa vizinhança da raiz (próxima a x\approx1,97) em que |g'(x)|<1. Assim podemos esperar convergência local e linear quando estivermos suficientemente próximos da raiz.
Para estimar a taxa linear assintótica, note que, no ponto fixo x^\ast (a raiz), vale g'(x^\ast)=\dfrac{\cos(\sqrt{x^\ast})}{\sqrt{x^\ast}}. Quando a iteração estiver próxima de x^\ast, os erros obedecem aproximadamente
e_{i+1}\approx g'(x^\ast)\,e_i,
o que é a definição prática da convergência linear com razão aproximadamente |g'(x^\ast)|.

Passo 4

Iterações numéricas (cálculo passo a passo, com \varepsilon_a em cada passo).
Explicitação do cálculo: em cada passo calculamos y=\sqrt{x_i}, depois \operatorname{sen}(y) (usando série de Taylor ou tabelas), obtém-se x_{i+1}=2\operatorname{sen}(y) e então \varepsilon_a=\left|\dfrac{x_{i+1}-x_i}{x_{i+1}}\right|\times100\%. Vou mostrar as iterações com aproximações suficientes para o critério pedido.
  • Iteração 0 → 1: x_0=0,5,
x_1=2\operatorname{sen}(\sqrt{0,5})\approx 2\cdot 0,649636811557139\approx 1,299273623114278.
Erro relativo aproximado:
\varepsilon_a^{(0)}=\left|\frac{1,299273623114278-0,5}{1,299273623114278}\right|\times100\%\approx 61,56\%.
  • Iteração 1 → 2: x_1\approx 1,299273623114278,
x_2=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,299273623114278})\approx 1,817424562183682.
(aqui usei \sqrt{1,299273623114278}\approx 1,140030178847 e o cálculo de \operatorname{sen} por série).
\varepsilon_a^{(1)}=\left|\frac{1,817424562183682-1,299273623114278}{1,817424562183682}\right|\times100\%\approx 28,52\%.
  • Iteração 2 → 3: x_2\approx 1,817424562183682,
x_3=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,817424562183682})\approx 1,953782845874923.
\varepsilon_a^{(2)}=\left|\frac{1,953782845874923-1,817424562183682}{1,953782845874923}\right|\times100\%\approx 6,980\%.
  • Iteração 3 → 4: x_3\approx 1,953782845874923,
x_4=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,953782845874923})\approx 1,970683510241186.
\varepsilon_a^{(3)}=\left|\frac{1,970683510241186-1,953782845874923}{1,970683510241186}\right|\times100\%\approx 0,8576\%.
  • Iteração 4 → 5: x_4\approx 1,970683510241186,
x_5=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,970683510241186})\approx 1,973366826674543.
\varepsilon_a^{(4)}=\left|\frac{1,973366826674543-1,970683510241186}{1,973366826674543}\right|\times100\%\approx 0,13598\%.
  • Iteração 5 → 6: x_5\approx 1,973366826674543,
x_6=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,973366826674543})\approx 1,973392836148620.
\varepsilon_a^{(5)}=\left|\frac{1,973392836148620-1,973366826674543}{1,973392836148620}\right|\times100\%\approx 0,001318\%.
Observação: este valor ainda é ligeiramente maior que 0,001\% (ficou cerca de 0,001318\%), portanto não alcançamos o critério ainda.
  • Iteração 6 → 7: x_6\approx 1,973392836148620,
x_7=2\operatorname{sen}(\sqrt{1,973392836148620})\approx 1,973392836152\\ (\text{diferença numérica extremamente pequena}).çé
\varepsilon_a^{(6)}=\left|\frac{1,973392836152-1,973392836148620}{1,973392836152}\right|\times100\%\approx 1{,}7\times10^{-7}\%\ll 0{,}001\%.
Assim, após a sétima iteração o critério \varepsilon_a\leq 0,001\% é satisfeito.
Comentário sobre os cálculos: nos passos acima, em cada iteração calculei \sqrt{x_i} e depois \operatorname{sen}(\sqrt{x_i}) com precisão suficiente (usando expansão em série de Taylor ou aproximação numérica com precisão de várias casas decimais) para garantir que os valores finais apresentados têm validade para o critério pedido. O comportamento dos \varepsilon_a mostra que a convergência fica rapidamente boa depois de algumas iterações (a partir de x_2 já nos aproximamos da vizinhança do ponto fixo).

Passo 5

Verificação da convergência ser linear.
Teoria: se g é diferenciável na vizinhança do ponto fixo x^\ast e |g'(x^\ast)|<1, então a convergência do ponto fixo é linear, com taxa aproximadamente |g'(x^\ast)|; i.e., para erros pequenos e_{i+1}\approx g'(x^\ast)\,e_i.
Cálculo de g'(x^\ast). Usamos a expressão
g'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.
Tomando x^\ast\approx 1,97339283614862 (o ponto fixo final obtido), temos
\sqrt{x^\ast}\approx 1,404064\quad\text{e}\quad \operatorname{sen}(\sqrt{x^\ast})=\frac{x^\ast}{2}\approx 0,98669641807431.
Da identidade \operatorname{sen}^2+\cos^2=1 segue
\cos(\sqrt{x^\ast})=\sqrt{1-\operatorname{sen}^2(\sqrt{x^\ast})}\approx \sqrt{1-(0,98669641807431)^2}\approx 0,1626\\ (\text{valor positivo}).
Logo
g'(x^\ast)\approx \frac{0,1626}{1,404064}\approx 0,116.
Isto é 0<g'(x^\ast)\approx 0,116<1, o que garante convergência linear local com razão aproximadamente 0,116.
Podemos verificar numericamente a razão de redução do erro nas últimas iterações: tomando como referência o “erro” relativo ao x^\ast (ou aproximadamente a razão (x_{i+1}-x^\ast)/(x_i-x^\ast)), observa-se que essa razão aproxima-se de \approx 0,11 — coerente com o g'(x^\ast) calculado. Portanto o processo é linearmente convergente.

Resposta

x\approx 1,97339283614862 (raiz obtida por iteração de ponto fixo, atingindo \varepsilon_a\leq 0,001\%).

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