([CHAPRA, 2008], Problema 5.8) Encontre a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição até \varepsilon s=0,5 \%. Use aproximações iniciais \mathrm{xl}=4 \mathrm{e} \mathrm{xu}=5.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição (regula falsi) até que o erro relativo aproximado seja menor ou igual a \,0{,}5\%\,. As informações dadas são:
Aproximações iniciais: \mathrm{xl}=4 e \mathrm{xu}=5.
Critério de parada: erro percentual aproximado \varepsilon_s = 0{,}5\%.
A função natural para achar a raiz quadrada de 18 é f(x)=x^{2}-18 (a raiz de f(x) é \sqrt{18}).
Nada mais é pedido; vamos aplicar o método de falsa posição com essas condições.
Passo 2
Vou explicar claramente o método da falsa posição e as fórmulas que vou usar (passo-a-passo e com significado das variáveis):
Ideia: temos um intervalo [\mathrm{xl},\mathrm{xu}] tal que f(\mathrm{xl}) e f(\mathrm{xu}) têm sinais opostos. O método aproxima a raiz pela interseção da reta que passa pelos pontos (\mathrm{xl},f(\mathrm{xl})) e (\mathrm{xu},f(\mathrm{xu})) com o eixo x. Essa interseção é a nova aproximação \mathrm{xr}.
Nessa fórmula \mathrm{xl} e \mathrm{xu} são os extremos atuais do intervalo e f(\mathrm{xl}),f(\mathrm{xu}) são os valores da função nesses extremos.
Critério de atualização do intervalo:
Se f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr})<0 então a raiz está entre \mathrm{xl} e \mathrm{xr}, logo \mathrm{xu}\leftarrow\mathrm{xr}.
Caso contrário (ou seja, f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr})>0), a raiz está entre \mathrm{xr} e \mathrm{xu}, logo \mathrm{xl}\leftarrow\mathrm{xr}.
(Se f(\mathrm{xr})=0 então achamos a raiz exatamente.)
Fórmula do erro percentual aproximado usado para critério de parada:
Como f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr}_1)=(-2)\cdot(-14/81)>0, os sinais em \mathrm{xl} e \mathrm{xr}_1 são iguais; portanto substituo \mathrm{xl} por \mathrm{xr}_1:
portanto f(\mathrm{xr}_2)<0; isso indica que, se continuássemos, substituiríamos \mathrm{xl}\leftarrow\mathrm{xr}_2. Mas como o erro já está abaixo do limite pedido, paramos aqui.