([CHAPRA, 2008], Problema 5.8) Encontre a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição até \varepsilon s=0,5 \%. Use aproximações iniciais \mathrm{xl}=4 \mathrm{e} \mathrm{xu}=5.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a raiz quadrada positiva de 18 usando o método da falsa posição (regula falsi) até que o erro relativo aproximado seja menor ou igual a \,0{,}5\%\,. As informações dadas são:
  • Aproximações iniciais: \mathrm{xl}=4 e \mathrm{xu}=5.
  • Critério de parada: erro percentual aproximado \varepsilon_s = 0{,}5\%.
  • A função natural para achar a raiz quadrada de 18 é f(x)=x^{2}-18 (a raiz de f(x) é \sqrt{18}).
    Nada mais é pedido; vamos aplicar o método de falsa posição com essas condições.

Passo 2

Vou explicar claramente o método da falsa posição e as fórmulas que vou usar (passo-a-passo e com significado das variáveis):
  • Ideia: temos um intervalo [\mathrm{xl},\mathrm{xu}] tal que f(\mathrm{xl}) e f(\mathrm{xu}) têm sinais opostos. O método aproxima a raiz pela interseção da reta que passa pelos pontos (\mathrm{xl},f(\mathrm{xl})) e (\mathrm{xu},f(\mathrm{xu})) com o eixo x. Essa interseção é a nova aproximação \mathrm{xr}.
  • Fórmula da falsa posição (forma usada aqui):
\mathrm{xr} = \mathrm{xu} - \frac{f(\mathrm{xu})\big(\mathrm{xl}-\mathrm{xu}\big)}{f(\mathrm{xl})-f(\mathrm{xu})}.
Nessa fórmula \mathrm{xl} e \mathrm{xu} são os extremos atuais do intervalo e f(\mathrm{xl}),f(\mathrm{xu}) são os valores da função nesses extremos.
  • Critério de atualização do intervalo:
    Se f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr})<0 então a raiz está entre \mathrm{xl} e \mathrm{xr}, logo \mathrm{xu}\leftarrow\mathrm{xr}.
    Caso contrário (ou seja, f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr})>0), a raiz está entre \mathrm{xr} e \mathrm{xu}, logo \mathrm{xl}\leftarrow\mathrm{xr}.
    (Se f(\mathrm{xr})=0 então achamos a raiz exatamente.)
  • Fórmula do erro percentual aproximado usado para critério de parada:
\varepsilon_a = \left|\frac{\mathrm{xr}_{\text{novo}}-\mathrm{xr}_{\text{antigo}}}{\mathrm{xr}_{\text{novo}}}\right|\times 100\%.
Vou parar quando \varepsilon_a \le 0{,}5\%.
Agora aplico o método com os números dados.

Passo 3

Inicialização e avaliação inicial de f:
  • Defino f(x)=x^{2}-18.
  • Avaliando nas extremidades iniciais (dados no enunciado):
f(\mathrm{xl})=f(4)=4^{2}-18=16-18=-2,
f(\mathrm{xu})=f(5)=5^{2}-18=25-18=7.
Como f(\mathrm{xl})<0 e f(\mathrm{xu})>0, há uma raiz no intervalo [4,5], podemos aplicar a falsa posição.

Passo 4

Primeira iteração (não existe \mathrm{xr}_{\text{antigo}}, geramos \mathrm{xr}_1):
Usando a fórmula
\mathrm{xr}_1 = \mathrm{xu} - \frac{f(\mathrm{xu})\big(\mathrm{xl}-\mathrm{xu}\big)}{f(\mathrm{xl})-f(\mathrm{xu})} = 5 - \frac{7(4-5)}{-2-7}.
Calculo passo a passo:
7(4-5)=7(-1)=-7,\qquad f(\mathrm{xl})-f(\mathrm{xu})=-2-7=-9,
\frac{-7}{-9}=\frac{7}{9}\quad\Rightarrow\quad \mathrm{xr}_1 = 5 - \frac{7}{9} = \frac{45-7}{9}=\frac{38}{9}=4{,}222222\ldots
Avalio f(\mathrm{xr}_1):
f(\mathrm{xr}_1)=\left(\frac{38}{9}\right)^{2}-18=\frac{1444}{81}-18=\frac{1444-1458}{81}=\frac{-14}{81}\approx -0{,}1728395.
Como f(\mathrm{xl})\cdot f(\mathrm{xr}_1)=(-2)\cdot(-14/81)>0, os sinais em \mathrm{xl} e \mathrm{xr}_1 são iguais; portanto substituo \mathrm{xl} por \mathrm{xr}_1:
\mathrm{xl}\leftarrow \mathrm{xr}_1=\frac{38}{9}\quad\text{e}\quad \mathrm{xu}=5.
Não calculamos \varepsilon_a nesta primeira iteração por falta de \mathrm{xr}_{\text{antigo}}.

Passo 5

Segunda iteração (calculando \mathrm{xr}_2 e o erro \varepsilon_a):
Agora \mathrm{xl}=\dfrac{38}{9}, \mathrm{xu}=5, f(\mathrm{xl})=-\dfrac{14}{81}, f(\mathrm{xu})=7.
Aplicando a fórmula:
\mathrm{xr}_2 = 5 - \frac{7\left(\dfrac{38}{9}-5\right)}{-\dfrac{14}{81}-7}.
Calculo racional para maior exatidão:
\dfrac{38}{9}-5=\dfrac{38-45}{9}=\dfrac{-7}{9},
7\cdot\left(\dfrac{-7}{9}\right)=\dfrac{-49}{9},
-\dfrac{14}{81}-7=-\dfrac{14}{81}-\dfrac{567}{81}=-\dfrac{581}{81}.
Portanto
\frac{7(\mathrm{xl}-\mathrm{xu})}{f(\mathrm{xl})-f(\mathrm{xu})}=\frac{-49/9}{-581/81}=\frac{-49}{9}\cdot\frac{81}{-581}=\frac{3969}{5229}=\frac{441}{581}.
Então
\mathrm{xr}_2 = 5 - \frac{441}{581}=\frac{5\cdot581-441}{581}=\frac{2464}{581}.
Convertendo para decimal (divisão longa):
\mathrm{xr}_2=\frac{2464}{581}\approx 4{,}2409638\ldots
Agora calculo o erro percentual aproximado entre \mathrm{xr}_2 e \mathrm{xr}_1:
diferença exata:
\mathrm{xr}_2-\mathrm{xr}_1=\frac{2464}{581}-\frac{38}{9}=\frac{2464\cdot9-38\cdot581}{581\cdot9}=\frac{22176-22078}{5229}=\frac{98}{5229}\approx 0{,}018747.
Logo
\varepsilon_a=\left|\frac{\mathrm{xr}_2-\mathrm{xr}_1}{\mathrm{xr}_2}\right|\times100\% =\frac{98/5229}{2464/581}\times100\% \approx\frac{0{,}018747}{4{,}240964}\times100\%\approx 0{,}4421\%.
Como \varepsilon_a\approx 0{,}4421\% \le 0{,}5\%, o critério de parada foi satisfeito e podemos aceitar \mathrm{xr}_2 como aproximação adequada.
Para consistência, verifico o sinal de f(\mathrm{xr}_2) (não é necessário para parar, mas confirma a atualização de intervalo):
f(\mathrm{xr}_2)=\left(\frac{2464}{581}\right)^{2}-18 =\frac{2464^{2}-18\cdot581^{2}}{581^{2}} =\frac{6071296-6076098}{337561}=\frac{-4802}{337561}\approx -0{,}01423,
portanto f(\mathrm{xr}_2)<0; isso indica que, se continuássemos, substituiríamos \mathrm{xl}\leftarrow\mathrm{xr}_2. Mas como o erro já está abaixo do limite pedido, paramos aqui.

Resposta

4{,}240964

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