A velocidade \mathrm{v}(\mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}) de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando um polinômio de 4^{\circ} grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento usando o polinômio interpolador da Forma de Newton.
x f(x)
0 0,000
8 52,032
20 160,450
30 275,961
45 370,276

Passo 1

O enunciado dá cinco medições da velocidade v do foguete em função do tempo t. Os dados são:
\begin{array}{l|l} x & f(x)\\hline 0 & 0,000\\\\ 8 & 52,032\\\\ 20 & 160,450\\\\ 30 & 275,961\\\\ 45 & 370,276 \end{array}
O que nos pedem: aproximar a velocidade do foguete no instante t=25 segundos usando o polinômio interpolador de grau 4 na forma de Newton, construído a partir desses cinco pontos.

Passo 2

Explico a ideia e a notação (de forma passo a passo e sem mistério).
  • A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 4 é
P_4(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
\quad +f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2) +f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).
  • Aqui f[x_i,\dots,x_j] é a diferença dividida entre os pontos x_i,\dots,x_j. As diferenças divididas são definidas recursivamente:
f[x_i]=f(x_i),
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
  • O procedimento: calculamos todas as diferenças divididas em tabela e lemos os coeficientes f[x_0], f[x_0,x_1],\dots,f[x_0,\dots,x_4]. Depois avaliamos P_4(25).

Passo 3

Calcular as primeiras diferenças divididas (diferença entre pontos consecutivos):
f[x_0]=f(0)=0,000.
f[x_0,x_1]=\frac{f(8)-f(0)}{8-0}=\frac{52,032-0,000}{8}=6,504.
f[x_1,x_2]=\frac{f(20)-f(8)}{20-8}=\frac{160,450-52,032}{12}=\frac{108,418}{12}=9,034833333\ldots
f[x_2,x_3]=\frac{f(30)-f(20)}{30-20}=\frac{275,961-160,450}{10}=\frac{115,511}{10}=11,5511.
f[x_3,x_4]=\frac{f(45)-f(30)}{45-30}=\frac{370,276-275,961}{15}=\frac{94,315}{15}=6,287666666\ldots

Passo 4

Calcular as segundas diferenças divididas:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{20-0} =\frac{9,034833333-6,504}{20}= \frac{2,530833333}{20}=0,12654166665.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{30-8} =\frac{11,5511-9,034833333}{22}= \frac{2,516266667}{22}=0,11437575759.
f[x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_3,x_4]-f[x_2,x_3]}{45-20} =\frac{6,287666666-11,5511}{25}= \frac{-5,263433334}{25}=-0,21053733336.

Passo 5

Calcular as terceiras diferenças divididas:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{30-0} =\frac{0,11437575759-0,12654166665}{30} =\frac{-0,01216590906}{30}=-0,000405530302.
f[x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_2,x_3,x_4]-f[x_1,x_2,x_3]}{45-8} =\frac{-0,21053733336-0,11437575759}{37} =\frac{-0,32491309095}{37}=-0,008783595969.

Passo 6

Calcular a quarta diferença dividida (o último coeficiente necessário):
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{45-0}
=\frac{-0,008783595969-(-0,000405530302)}{45} =\frac{-0,008378065667}{45}=-0,00018617923705.
Resumo dos coeficientes (leituras da tabela de diferenças divididas):
f[x_0]=0,000,\quad f[x_0,x_1]=6,504,\quad f[x_0,x_1,x_2]=0,12654166665,
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=-0,000405530302,\quad f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=-0,00018617923705.

Passo 7

Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes obtidos (não precisamos expandir; vamos usar esta forma para avaliar em x=25):
P_4(x)=0,000+6,504(x-0)+0,12654166665(x-0)(x-8)
\qquad -0,000405530302(x-0)(x-8)(x-20) -0,00018617923705(x-0)(x-8)(x-20)(x-30).

Passo 8

Avaliar P_4(25) passo a passo (cada termo separado para ficar bem mastigado):
Calcule as diferenças x- x_i em x=25:
25-0=25,\quad 25-8=17,\quad 25-20=5,\quad 25-30=-5.
Termos do polinômio:
Termo linear:
T_1=6,504\cdot 25=162,600.
Termo quadrático:
T_2=0,12654166665\cdot 25\cdot 17=0,12654166665\cdot 425=53,78020832625.
Termo cúbico:
T_3=-0,000405530302\cdot 25\cdot 17\cdot 5 =-0,000405530302\cdot 2125=-0,8617518911125.
Termo quártico:
T_4=-0,00018617923705\cdot 25\cdot 17\cdot 5\cdot(-5).
Observando (25)(17)(5)(-5)=25\cdot17\cdot(-25)=-10625. Então
T_4=-0,00018617923705\cdot(-10625)=+1,97815439365625.
Somando tudo (e lembrando f[x_0]=0,000):
P_4(25)=0,000+T_1+T_2+T_3+T_4
=162,600+53,78020832625-0,8617518911125+1,97815439365625
=217,49661082879375\;\text{(aprox.)}.
Arredondando de forma razoável (três casas decimais, já que os dados têm três casas decimais), obtemos 217,497.

Resposta

217,497\\ \mathrm{m/s}

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