A velocidade
de um foguete lançado do solo foi medida quatro vezes, t segundos após o lançamento, e os dados foram registrados na tabela abaixo. Calcular usando um polinômio de
grau, a velocidade aproximada do foguete após 25 segundos do lançamento usando o polinômio interpolador da Forma de Newton.
0
0,000
8
52,032
20
160,450
30
275,961
45
370,276
|
|
|
| 0 | 0,000 |
| 8 | 52,032 |
| 20 | 160,450 |
| 30 | 275,961 |
| 45 | 370,276 |
Passo 1
O enunciado dá cinco medições da velocidade
do foguete em função do tempo
. Os dados são:
O que nos pedem: aproximar a velocidade do foguete no instante
segundos usando o polinômio interpolador de grau
na forma de Newton, construído a partir desses cinco pontos.
Passo 2
Explico a ideia e a notação (de forma passo a passo e sem mistério).
- A forma de Newton do polinômio interpolador de grau
é
- Aqui
é a diferença dividida entre os pontos . As diferenças divididas são definidas recursivamente:
- O procedimento: calculamos todas as diferenças divididas em tabela e lemos os coeficientes
. Depois avaliamos .
Passo 3
Calcular as primeiras diferenças divididas (diferença entre pontos consecutivos):
Passo 4
Calcular as segundas diferenças divididas:
Passo 5
Calcular as terceiras diferenças divididas:
Passo 6
Calcular a quarta diferença dividida (o último coeficiente necessário):
Resumo dos coeficientes (leituras da tabela de diferenças divididas):
Passo 7
Escrever o polinômio de Newton com os coeficientes obtidos (não precisamos expandir; vamos usar esta forma para avaliar em
):
Passo 8
Avaliar
passo a passo (cada termo separado para ficar bem mastigado):
Calcule as diferenças
em
:
Termos do polinômio:
Termo linear:
Termo quadrático:
Termo cúbico:
Termo quártico:
Observando
. Então
Somando tudo (e lembrando
):
Arredondando de forma razoável (três casas decimais, já que os dados têm três casas decimais), obtemos
.