Sejam os pontos da tabela:
x f(x)
0 0,000
\pi / 6 0,328
\pi / 4 0,560
Determine o valor aproximado de f(0,628) usando para os pontos dados o polinômio interpolador quadrático (caso particular da Forma de Newton).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine um valor aproximado de f(0,628) usando o polinômio interpolador quadrático (forma de Newton) passando pelos três pontos dados. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &x_0=0,\quad f(x_0)=0,000,\\\ &x_1=\frac{\pi}{6},\quad f(x_1)=0,328,\\\ &x_2=\frac{\pi}{4},\quad f(x_2)=0,560.
A tarefa é construir o polinômio interpolador quadrático que passa por esses três pontos e avaliar esse polinômio em x=0,628.

Passo 2

Explico a forma de Newton para interpolação e o conceito de diferenças divididas (passo-a-passo, como se estivéssemos na prova).
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 2, usando nós x_0,x_1,x_2, é
P_2(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1).
Aqui:
  • f[x_0]=f(x_0) é o valor no primeiro nó;
  • f[x_0,x_1] é a primeira diferença dividida entre x_0 e x_1, definida por
f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0};
  • f[x_0,x_1,x_2] é a segunda diferença dividida, definida por
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}.
Essas diferenças divididas são simplesmente taxas de variação entre pontos análogas a inclinações, estendidas para mais de dois pontos. Vamos calcular cada uma explicitamente com os valores dados.

Passo 3

Calcular f[x_0,x_1]. Usamos x_0=0 e x_1=\pi/6, e f(x_0)=0,000, f(x_1)=0,328:
f[x_0,x_1]=\frac{0,328-0,000}{\frac{\pi}{6}-0}= \frac{0,328}{\pi/6}=0,328\cdot\frac{6}{\pi}.
Para avaliar numericamente usamos \pi\approx 3,141592654, então
f[x_0,x_1]\approx \frac{1,968}{\pi}\approx 0,626652.

Passo 4

Calcular f[x_1,x_2]. Usamos x_1=\pi/6, x_2=\pi/4, f(x_1)=0,328, f(x_2)=0,560:
f[x_1,x_2]=\frac{0,560-0,328}{\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}}=\frac{0,232}{\pi\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)}=\frac{0,232}{\pi/12}=0,232\cdot\frac{12}{\pi}.
Numericamente,
f[x_1,x_2]\approx \frac{2,784}{\pi}\approx 0,886175.

Passo 5

Calcular a segunda diferença dividida f[x_0,x_1,x_2]:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{0,886175-0,626652}{\frac{\pi}{4}-0}.
No cálculo exato podemos notar que
f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]=\frac{2,784}{\pi}-\frac{1,968}{\pi}=\frac{0,816}{\pi},
logo
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{0,816/\pi}{\pi/4}=\frac{0,816\cdot 4}{\pi^2}=\frac{3,264}{\pi^2}.
Usando \pi^2\approx 9,869604401,
f[x_0,x_1,x_2]\approx \frac{3,264}{9,869604401}\approx 0,330664.

Passo 6

Escrevemos o polinômio P_2(x) com os coeficientes encontrados. Como x_0=0 e f[x_0]=0,000, temos
P_2(x)=0,000 + (0,626652)\,x + (0,330664)\,x\,(x-\tfrac{\pi}{6}).
Vou agora avaliar este polinômio em x=0,628.

Passo 7

Avaliação passo-a-passo em x=0,628:
Calcular x - \tfrac{\pi}{6}:
0,628-\frac{\pi}{6}\approx 0,628-0,5235987756\approx 0,1044012244.
Calcular o primeiro termo linear:
(0,626652)\cdot 0,628 \approx 0,393536.
Calcular o produto para o termo quadrático:
0,628\cdot(0,628-\tfrac{\pi}{6})\approx 0,628\cdot 0,1044012244\approx 0,065563968.
Multiplicando pelo coeficiente quadrático:
(0,330664)\cdot 0,065563968 \approx 0,021685.
Somando os dois termos (lembre que f[x_0]=0):
P_2(0,628)\approx 0,393536 + 0,021685 \approx 0,415221.

Passo 8

Pequena verificação de plausibilidade: 0,628 está entre \pi/6\approx 0,5236 (com f=0,328) e \pi/4\approx 0,7854 (com f=0,560). O valor obtido 0,415 está entre esses dois valores e mais próximo de 0,328 (já que 0,628 está mais perto de \pi/6), então a resposta faz sentido qualitativo.

Resposta

0,415

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