Sejam os pontos da tabela:
0
0,000
0,328
0,560
Determine o valor aproximado de
usando para os pontos dados o polinômio interpolador quadrático (caso particular da Forma de Newton).
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| 0 | 0,000 |
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0,328 |
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0,560 |
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine um valor aproximado de
usando o polinômio interpolador quadrático (forma de Newton) passando pelos três pontos dados. Os dados fornecidos são:
A tarefa é construir o polinômio interpolador quadrático que passa por esses três pontos e avaliar esse polinômio em
.
Passo 2
Explico a forma de Newton para interpolação e o conceito de diferenças divididas (passo-a-passo, como se estivéssemos na prova).
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 2, usando nós , é
A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 2, usando nós
Aqui:
-
é o valor no primeiro nó; -
é a primeira diferença dividida entre e , definida por
-
é a segunda diferença dividida, definida por
Essas diferenças divididas são simplesmente taxas de variação entre pontos análogas a inclinações, estendidas para mais de dois pontos. Vamos calcular cada uma explicitamente com os valores dados.
Passo 3
Calcular
. Usamos
e
, e
,
:
Para avaliar numericamente usamos
, então
Passo 4
Calcular
. Usamos
,
,
,
:
Numericamente,
Passo 5
Calcular a segunda diferença dividida
:
No cálculo exato podemos notar que
logo
Usando
,
Passo 6
Escrevemos o polinômio
com os coeficientes encontrados. Como
e
, temos
Vou agora avaliar este polinômio em
.
Passo 7
Avaliação passo-a-passo em
:
Calcular
:
Calcular o primeiro termo linear:
Calcular o produto para o termo quadrático:
Multiplicando pelo coeficiente quadrático:
Somando os dois termos (lembre que
):
Passo 8
Pequena verificação de plausibilidade:
está entre
(com
) e
(com
). O valor obtido
está entre esses dois valores e mais próximo de
(já que
está mais perto de
), então a resposta faz sentido qualitativo.