([CHAPRA, 2008], Problema 4.5, Página 78) Dado um valor de \mathrm{x}=2,5 \mathrm{com} um erro de \Delta x=0,01, faça uma estimativa do erro resultante na função f(x)=x^{3}. Equação para funções de uma variável:
ou que o valor verdadeiro deve ficar entre 15,4375 e 15,8125. De fato, se x for realmente 2,49 , a função pode ser calculada como sendo 15,4382 , e se x for 2,51 , ela será 15,8132 . Para este caso, a análise de erro de primeira ordem fornece uma estimativa bastante próxima do erro verdadeiro.
Passo 1
O enunciado dá o valor aproximado \tilde{x}=2{,}5 com um erro em x de \Delta x=0{,}01. A função é f(x)=x^{3}.
O que nos pedem: estimar o erro resultante em f, ou seja, calcular uma aproximação para \Delta f e apresentar o valor previsto de f(\tilde{x}) com o erro (intervalo de confiança aproximado).
Apresento a fórmula de aproximação linear (primeira ordem) e explico o significado das letras:
A aproximação linear diz que, para um pequeno erro em x,
Verificação direta (para ver quão boa é a aproximação): calculo f nos extremos x=2{,}49 e x=2{,}51 (esses extremos correspondem a \tilde{x}\pm\Delta x).
f(2{,}49)=15{,}438249 (diferença para 15{,}625 é |15{,}438249-15{,}625|=0{,}186751);
f(2{,}51)=15{,}813251 (diferença para 15{,}625 é 0{,}188251).
A aproximação linear previu \Delta f\approx 0{,}1875. Observa-se que os erros reais 0{,}186751 e 0{,}188251 estão muito próximos de 0{,}1875 — a diferença é da ordem de 7{,}5\times 10^{-4}.
Passo 7
Por que a aproximação foi tão boa? Breve explicação com resto de Taylor: a aproximação linear é a expansão de Taylor de primeira ordem. O termo de erro (resto de segunda ordem) tem aproximadamente a forma
R\approx \tfrac{1}{2}f''(\xi)(\Delta x)^{2}
para algum \xi entre \tilde{x} e x. Aqui f''(x)=6x. No intervalo entre 2{,}49 e 2{,}51 podemos usar x\approx 2{,}5 como referência, então
o que coincide com a pequena diferença observada entre a estimativa linear e o erro real. Ou seja, o termo de segunda ordem é pequeno porque (\Delta x)^{2} é pequeno.
Passo 8
Resumo motivador: a técnica de usar a derivada para estimar o erro é simples, rápida e costuma ser bastante precisa quando \Delta x é pequeno. Você já viu o passo a passo: calcular f'(\tilde{x}), multiplicar por \Delta x e adicionar/subtrair de f(\tilde{x}). Dá pra aplicar isso em várias funções na prova — vai com calma, segue esses passos e confia no processo!