5^{\circ}-Calcular a raiz real da equação transcendente x^{3}-x-1=0, pelo Método de Newton com uma precisăo de €<10^{-2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação transcendental
x^3 - x - 1 = 0
usando o Método de Newton, até que o erro entre iterações seja menor que 10^{-2}. Vamos precisar da função f(x), sua derivada f'(x) e da fórmula iterativa de Newton.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^3 - x - 1, \qquad f'(x) = 3x^2 - 1.
A regra de Newton é
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Escolhemos como chute inicial x_0 = 1, pois a raiz real está perto de 1.

Passo 3

Calculamos as primeiras iterações, sempre avaliando o erro \lvert x_{n+1}-x_n\rvert:
\begin{aligned} x_1 &= 1 - \frac{f(1)}{f'(1)} = 1 - \frac{1^3 -1 -1}{3\cdot1^2 -1} = 1 - \frac{-1}{2} = 1{,}5, \\[6pt] x_2 &= 1{,}5 - \frac{(1{,}5)^3 -1{,}5 -1}{3\cdot(1{,}5)^2 -1} = 1{,}5 - \frac{0{,}875}{5{,}75} \approx 1{,}3478, \\[4pt] \lvert x_2 - x_1\rvert &\approx 0{,}1522 > 10^{-2}. \end{aligned}]

Passo 4

Continuamos:
\begin{aligned} x_3 &= 1{,}3478 - \frac{(1{,}3478)^3 -1{,}3478 -1}{3\cdot(1{,}3478)^2 -1} \approx 1{,}3249, \\[4pt] \lvert x_3 - x_2\rvert &\approx 0{,}0229 > 10^{-2}, \\[6pt] x_4 &= 1{,}3249 - \frac{(1{,}3249)^3 -1{,}3249 -1}{3\cdot(1{,}3249)^2 -1} \approx 1{,}3247, \\[4pt] \lvert x_4 - x_3\rvert &\approx 0{,}0002 < 10^{-2}. \end{aligned}
Como o erro \lvert x_4 - x_3\rvert já é menor que 10^{-2}, paramos aqui.]

Resposta

A raiz real aproximada, com precisão \lvert e\rvert<10^{-2}, é
x \approx 1{,}3247.

Exercícios relacionados