Calcule a integral
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x
com erro absoluto menor que \frac{1}{6} \cdot 10^{-4}.
Procedimentos:
  1. Use a expressão do erro máximo da Regra dos Trapézios para determinar o número mínimo n de sub-intervalos que garante a precisão desejada.
  2. Implemente (em python) o código computacional da Regra dos Trapézios e calcule o valor da integral pedida.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \,dx
com erro absoluto menor que
\frac{1}{6}\times10^{-4}
usando a Regra dos Trapézios. Vamos então:
1. usar a expressão do erro máximo da Regra dos Trapézios para achar o menor n,
2. implementar em Python a Regra dos Trapézios com esse n e calcular o valor aproximado.

Passo 2

Na Regra dos Trapézios, o erro de aproximação satisfaz
E_T \le \frac{(b-a)^{3}}{12\,n^{2}} \, \max_{x\in[a,b]} \bigl|f''(x)\bigr|.
Aqui a=0, b=1 e f(x)=e^{-x^{2}}. Calculamos
f'(x) = -2x\,e^{-x^{2}}, \quad f''(x) = (4x^{2}-2)\,e^{-x^{2}}.
Em [0,1], o valor máximo de \bigl|f''(x)\bigr| ocorre em x=0, onde \bigl|f''(0)\bigr|=2. Logo,
E_T \le \frac{(1-0)^{3}}{12\,n^{2}}\cdot 2 = \frac{2}{12\,n^{2}} = \frac{1}{6\,n^{2}}.
Queremos \frac{1}{6\,n^{2}}\le \frac{1}{6}\times10^{-4}. Multiplicando ambos os lados por 6:
\frac{1}{n^{2}} \le 10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad n^{2}\ge 10^{4} \quad\Longrightarrow\quad n\ge 100.
Portanto o menor n inteiro que garante a precisão é n=100.

Passo 3

Agora implementamos a Regra dos Trapézios em Python com n=100:
import math

def trapezio(f, a, b, n):
    h \(=\) (b - a)/n
    soma \(=0.5\)*f(a) \(+0.5\)*f(b)
    for i in range(\(1\), n):
        soma \(+=\) f(a \(+\) i*h)
    return soma*h

f \(=\) lambda x: math.exp(-x**\(2\))
a, b, n \(=0.0\), \(1.0\), \(100\)
resultado \(=\) trapezio(f, a, b, n)
print(resultado)

Passo 4

Executando esse código obtém-se aproximadamente
0{,}7468241328124271.
Esse valor tem erro absoluto menor que 1/6\times10^{-4}, conforme garantido pela escolha de n=100.

Resposta

O número mínimo de sub-intervalos é n=100 e o valor aproximado da integral é
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}}\,dx \approx 0{,}7468241328.

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