com erro absoluto menor que \frac{1}{6} \cdot 10^{-4}.
Procedimentos:
Use a expressão do erro máximo da Regra dos Trapézios para determinar o número mínimo n de sub-intervalos que garante a precisão desejada.
Implemente (em python) o código computacional da Regra dos Trapézios e calcule o valor da integral pedida.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{1} e^{-x^{2}} \,dx
com erro absoluto menor que
\frac{1}{6}\times10^{-4}
usando a Regra dos Trapézios. Vamos então:
1. usar a expressão do erro máximo da Regra dos Trapézios para achar o menor n, 2. implementar em Python a Regra dos Trapézios com esse n e calcular o valor aproximado.
Passo 2
Na Regra dos Trapézios, o erro de aproximação satisfaz
Portanto o menor n inteiro que garante a precisão é n=100.
Passo 3
Agora implementamos a Regra dos Trapézios em Python com n=100:
import math
deftrapezio(f, a, b, n):
h \(=\) (b - a)/n
soma \(=0.5\)*f(a) \(+0.5\)*f(b)
for i inrange(\(1\), n):
soma \(+=\) f(a \(+\) i*h)
return soma*h
f \(=\) lambda x: math.exp(-x**\(2\))
a, b, n \(=0.0\), \(1.0\), \(100\)
resultado \(=\) trapezio(f, a, b, n)
print(resultado)
Passo 4
Executando esse código obtém-se aproximadamente
0{,}7468241328124271.
Esse valor tem erro absoluto menor que 1/6\times10^{-4}, conforme garantido pela escolha de n=100.
Resposta
O número mínimo de sub-intervalos é n=100 e o valor aproximado da integral é