3^circ-Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do Método de Jacobi.
x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0] e varepsilon<10^-2
c 4 x+y+z+w=7 2 x-8 y+z-w=-6 x+2 y-5 z+w=-1 x+y+z-4 w=-1

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema
4x + y + z + w = 7, 2x - 8y + z - w = -6, x + 2y - 5z + w = -1, x + y + z -4w = -1,
usando o Método de Jacobi com chute inicial
x^(0) = [0,0,0,0]^T
e tolerância varepsilon<10^-2.
O conteúdo aqui é iteração em métodos numéricos para resolver sistemas lineares, isolando cada variável em função das outras e iterando até que a diferença entre iterações sucessivas seja menor que varepsilon.

Passo 2

Para garantir que o Jacobi converga, confirmamos que o sistema é estritamente diagonalmente dominante, pois em cada equação o módulo do coeficiente da incógnita principal é maior que a soma dos módulos dos demais coeficientes:
4 &> |1|+|1|+|1|=3, 8 &> |2|+|1|+|1|=4, 5 &> |1|+|2|+|1|=4, 4 &> |1|+|1|+|1|=3
Logo, o método de Jacobi converge.

Passo 3

Isolando cada variável pelo coeficiente da diagonal, obtemos as fórmulas de iteração:
x^(k+1) &= 14l(7 - y^(k) - z^(k) - w^(k)r), y^(k+1) &= 18l(6 + 2,x^(k) + z^(k) - w^(k)r), z^(k+1) &= 15l(1 + x^(k) + 2,y^(k) - w^(k)r), w^(k+1) &= 14l(1 + x^(k) + y^(k) + z^(k)r)

Passo 4

Adotamos como critério de parada
l|x^(k+1) - x^(k)r|infty < 10^-2,
onde
|v|infty = maxi |vi|.
Começando em
x^(0)=[0,0,0,0]^T, temos:
– Iteração 1:
x^(1) = l[1,75,;0,75,;0,20,;0,25r]^T
– Iteração 2:
x^(2) = l[1,45,;1,1813,;0,80,;0,925r]^T
Continuando esse processo, verifica-se que após 9 iterações a norma infinita da diferença fica abaixo de 10^-2. O vetor obtido é
x^(9) approx l[1,1083,;0,9885,;0,6302,;0,9333r]^T

Resposta

x approx l[1,1083,;0,9885,;0,6302,;0,9333r]^T

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