3^circ-Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo, através do Método de Jacobi.
x^(0)=[lllll1 & 3 & 1 & 3] e varepsilon<10^-2
c5 x-y+2 z+w=5 x+9 y+z-w=26 3 y-7 z+2 w=-7 -2 x+2 y-3 z+10 w=33

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
5x - y + 2z + w = 5, x + 9y + z - w = 26, 3y - 7z + 2w = -7, -2x + 2y - 3z +10w = 33
pelo Método de Jacobi, com chute inicial
x^(0) = 1313
e critério de parada varepsilon = 10^-2. Vamos usar o fato de que o método de Jacobi isola cada variável em função das outras no passo anterior e que, por ser o sistema estritamente diagonalmente dominante, a iteração converge.

Passo 2

Isolamos cada variável em sua equação:
x = 5 + y - 2z - w5, y = 26 - x - z + w9, z = 7 + 3y + 2w7, w = 33 + 2x - 2y + 3z10

Passo 3

Escrevemos o esquema iterativo de Jacobi: para k>=0,
x^(k+1) = 5 + y^(k) - 2,z^(k) - w^(k)5, y^(k+1) = 26 - x^(k) - z^(k) + w^(k)9,
z^(k+1) = 7 + 3,y^(k) + 2,w^(k)7, w^(k+1) = 33 + 2,x^(k) - 2,y^(k) + 3,z^(k)10
Pararemos quando
|x^(k+1) - x^(k)|infty < 10^-2

Passo 4

Calculamos x^(1) e x^(2):
a) Para k=0 tendo (x^(0),y^(0),z^(0),w^(0))=(1,3,1,3),
x^(1) = 5 + 3 - 2cdot1 - 35 = 0,6, y^(1) = 26 - 1 - 1 + 39 = 3,
z^(1) = 7 + 3cdot3 + 2cdot37 = 227approx3,142857, w^(1) = 33 + 2cdot1 -2cdot3 + 3cdot110 = 3,2
b) Para k=1, substituindo em cima, obtém-se
x^(2)approx -0,297143, y^(2)approx 2,828571, z^(2) = 3,2, w^(2)approx 3,762857
O erro |x^(2)-x^(1)|inftyapprox0,897>10^-2, continua.

Passo 5

Prosseguimos para x^(3) e x^(4):
x^(3)approx -0,466857,;y^(3)approx2,984444,; z^(3)approx3,287347,;w^(3)approx3,634857,
x^(4)approx -0,445021,;y^(4)approx2,979374,; z^(4)approx3,317578,;w^(4)approx3,595944
Verifica-se |x^(4)-x^(3)|inftyapprox0,039>10^-2.

Passo 6

Calculamos x^(5) e x^(6):
x^(5)approx -0,450345,;y^(5)approx2,969265,; z^(5)approx3,304287,;w^(5)approx3,610394,
x^(6)approx -0,449941,;y^(6)approx2,972939,; z^(6)approx3,304083,;w^(6)approx3,607364
Agora
|x^(6)-x^(5)|inftyapprox0,0037<10^-2, portanto paramos.

Resposta

A aproximação final da solução por Jacobi, com , é

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