Resolver o Sistema pelo Método de Gauss- Seidel
x^(0)=[llll0 & 0 & 0 & 0] e varepsilon<10^-2
c -x+6 y-z=32 6 x-y-z=11,33 -x-y-6 z=42

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de três equações lineares
-x + 6y - z = 32, 6x - y - z = 11,33, -x - y - 6z = 42,
e pede para resolver por Gauss–Seidel com chute inicial ,x^(0)=(0,0,0) e tolerância varepsilon<10^-2. Vamos precisar verificar convergência (dominância diagonal), isolar cada variável em função das demais e iterar até que a diferença máxima entre iterações seja menor que 10^-2.

Passo 2

Para garantir convergência, reordenamos as equações de modo que o coeficiente da incógnita isolada esteja em módulo maior que a soma dos demais coeficientes de cada linha. Usamos nesta ordem:
6x - y - z = 11,33,
-x + 6y - z = 32,
-x - y - 6z = 42

Passo 3

Isolando cada variável, obtemos as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel:
x = 11,33 + y + z6,
y = 32 + x + z6,
z = -42 + x + y6

Passo 4

O critério de dominância diagonal exige
lvert6rvert > lvert-1rvert + lvert-1rvert = 2
em cada equação, logo a convergência está garantida.

Passo 5

O método de Gauss–Seidel atualiza sucessivamente as variáveis usando os valores mais recentes:
x^(k+1) &= 11,33 + y^(k) + z^(k)6, y^(k+1) &= 32 + x^(k+1) + z^(k)6, z^(k+1) &= -42 + x^(k+1) + y^(k+1)6
Calculamos até
maxl|x^(k+1)-x^(k)|,;|y^(k+1)-y^(k)|,;|z^(k+1)-z^(k)|r<10^-2
Para k=0:
x^(1)=11,336=1,8883, y^(1)=32+1,88836=5,6481, z^(1)=-42+1,8883+5,64816=-8,2561
Para k=1:
x^(2)=11,33+5,6481-8,25616=1,4537, y^(2)=32+1,4537-8,25616=4,1996, z^(2)=-42+1,4537+4,19966=-7,9422
Para k=2:
x^(3)=1,2646, y^(3)=4,2204, z^(3)=-7,9142
Para k=3:
x^(4)=1,2727, y^(4)=4,2264, z^(4)=-7,9165,
com
maxDe<a x,De<a y,De<a zapprox8,13times10^-3<10^-2, atingindo a tolerância.

Resposta

x approx 1,2727, y approx 4,2264, z approx -7,9165.

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