1^circ ) Indique a localização das raízes, no intervalo ( -4,4 ), e utilize o método da Bisseção, com 3 iterações ( k=3 ), para encontrar um valor aproximado para a raiz de maior valor da função: f(x)=12 x^3-40 x^2-27 x+90.
Escreva o valor da raiz aproximada como sendo o ponto médio do intervalo obtido ao final da iteração 3 e apresente os cálculos referentes aos valores de x com todas as casas decimais obtidas e os cálculos referentes aos valores de y com até 5 (cinco) casas decimais.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, localizar as raízes da função
f(x)=12x^3-40x^2-27x+90
no intervalo (-4,4) usando o Teorema do Valor Intermediário; segundo, aplicar o método da bisseção com k=3 iterações para aproximar a raiz de maior valor. Para isso, vamos precisar:
1. Avaliar f(x) em pontos estratégicos para encontrar intervalos onde há troca de sinal.
2. Usar o critério de bisseção: se f(a),f(b)<0, há raiz em (a,b); a cada iteração tomamos o ponto médio e refinamos o intervalo.

Passo 2

Calculamos f(x) em alguns valores inteiros para achar três trocas de sinal em (-4,4):
  • Em x=-2:
f(-2)=12(-2)^3-40(-2)^2-27(-2)+90=-96-160+54+90=-112,00000
  • Em x=-1:
f(-1)=12(-1)^3-40(-1)^2-27(-1)+90=-12-40+27+90=65,00000
  • Em x=1:
f(1)=12-40-27+90=35,00000
  • Em x=2:
f(2)=96-160-54+90=-28,00000
  • Em x=3:
f(3)=324-360-81+90=-27,00000
  • Em x=4:
f(4)=768-640-108+90=110,00000
As trocas de sinal ocorrem em
(-2,-1), (1,2) e (3,4), logo há três raízes. A maior está em (3,4).

Passo 3

Definimos o intervalo inicial para a maior raiz como
a0=3, b0=4,
com
f(3)=-27,00000, f(4)=110,00000,
e de fato f(3),f(4)<0, condição necessária para aplicar a bisseção.

Passo 4

Iteração 1 ( k=1):
x1=a0+b02=3+42=3,5,
f(3,5)=12,(3,5)^3-40,(3,5)^2-27,(3,5)+90=20,00000
Como f(3)cdot f(3,5)=-27,00000times20,00000<0, o novo intervalo é
[a1,b1]=[3,;3,5]

Passo 5

Iteração 2 ( k=2):
x2=3+3,52=3,25,
f(3,25)=12,(3,25)^3-40,(3,25)^2-27,(3,25)+90=-8,31250
Aqui f(3)cdot f(3,25)>0 (ambos negativos), então escolhemos
[a2,b2]=[3,25,;3,5],
pois f(3,25)cdot f(3,5)<0.

Passo 6

Iteração 3 ( k=3):
x3=3,25+3,52=3,375,
f(3,375)=12,(3,375)^3-40,(3,375)^2-27,(3,375)+90=4,57031
Como f(3,25)cdot f(3,375)<0, o intervalo final é
[a3,b3]=[3,25,;3,375]

Passo 7

Tomamos o ponto médio do intervalo após a terceira iteração como aproximação da raiz de maior valor:
xaprox=3,25+3,3752=3,3125

Resposta

A raiz de maior valor aproximada pela bisseção em k=3 iterações é
xapprox3,3125

Exercícios relacionados