2^circ ) Use o método de Diferenças Divididas de Newton para encontrar o polinômio interpolador dos seguintes pontos: (-4,-8),(-2,4),(1,-5),(3,6) (Utilize 3 casas decimais para os arredondamentos).

Passo 1

O enunciado pede para interpolar os pontos (-4,-8), (-2,4), (1,-5) e (3,6) usando o método de diferenças divididas de Newton. Esse método consiste em calcular sucessivas diferenças divididas de primeira, segunda e terceira ordem e, a partir delas, montar o polinômio interpolador na forma de Newton, que será de grau até 3.

Passo 2

Vamos etiquetar os pontos como
x0=-4,;f0=-8; x1=-2,;f1=4; x2=1,;f2=-5; x3=3,;f3=6
As diferenças divididas de primeira ordem são
f[x0,x1]=f1-f0x1-x0=4-(-8)-2-(-4)=122=6,
f[x1,x2]=f2-f1x2-x1=-5-41-(-2)=-93=-3,
f[x2,x3]=f3-f2x3-x2=6-(-5)3-1=112=5,500

Passo 3

As diferenças divididas de segunda ordem vêm das primeiras:
f[x0,x1,x2] =f[x1,x2]-f[x0,x1]x2-x0 =-3-61-(-4) =-95=-1,800,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]x3-x1 =5,5-(-3)3-(-2) =8,55=1,700

Passo 4

A diferença dividida de terceira ordem é
f[x0,x1,x2,x3] =f[x1,x2,x3]-f[x0,x1,x2]x3-x0 =1,7-(-1,8)3-(-4) =3,57=0,500

Passo 5

Na forma de Newton, o polinômio interpolador é
P(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Substituindo os valores:
P(x)=-8+6(x+4)-1,800,(x+4)(x+2)+0,500,(x+4)(x+2)(x-1)

Passo 6

Para obter coeficientes padrão, expandimos e arredondamos a três casas decimais:
P(x)=0,500,x^3+0,700,x^2-3,800,x-2,400

Resposta

O polinômio interpolador é
boxedP(x)=0,500,x^3+0,700,x^2-3,800,x-2,400

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