5- Considere um sistema linear 4 times 4 e o método de Gauss-Seidel. Descreva as funções de iterações com seus devidos índices.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as funções de iteração do método de Gauss–Seidel para um sistema linear 4times4
A x = b,
onde
A = (aij)i,j=1^4, x = l(x1,x2,x3,x4r)^top, b = l(b1,b2,b3,b4r)^top
Vamos usar a ideia de isolar, a cada passo, a incógnita xi na i-ésima equação, empregando sempre os valores mais recentes disponíveis.

Passo 2

Escrevendo genericamente a -ésima equação:
no Gauss–Seidel a atualização de na iteração é
onde

Passo 3

Para i=1 não há valores atualizados antes, então
x1^(k+1) = 1a11l(b1 - a12,x2^(k) - a13,x3^(k) - a14,x4^(k)r)

Passo 4

Para i=2 já usamos x1^(k+1):
x2^(k+1) = 1a22l(b2 - a21,x1^(k+1) - a23,x3^(k) - a24,x4^(k)r)

Passo 5

Para i=3 usamos x1^(k+1) e x2^(k+1):
x3^(k+1) = 1a33l(b3 - a31,x1^(k+1) - a32,x2^(k+1) - a34,x4^(k)r)

Passo 6

Para i=4 usamos todas as anteriores atualizadas:
x4^(k+1) = 1a44l(b4 - a41,x1^(k+1) - a42,x2^(k+1) - a43,x3^(k+1)r)

Resposta

As funções de iteração de Gauss– Seidel para o sistema 4times4 são:
x1^(k+1) &= 1a11l(b1 - a12,x2^(k) - a13,x3^(k) - a14,x4^(k)r),[6pt] x2^(k+1) &= 1a22l(b2 - a21,x1^(k+1) - a23,x3^(k) - a24,x4^(k)r),[6pt] x3^(k+1) &= 1a33l(b3 - a31,x1^(k+1) - a32,x2^(k+1) - a34,x4^(k)r),[6pt] x4^(k+1) &= 1a44l(b4 - a41,x1^(k+1) - a42,x2^(k+1) - a43,x3^(k+1)r) ]

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