4- Considere o sistema linear: 2 x-5 y+z=1 ; 3 x-y+2 z=3 ; 4 x-y-3 z=-1. Realize 5 iterações com aproximação inicial x0=(0,0,0) utilizando o método de Gauss-Seidel considerando epsilon=0,001. Podemos afirmar corretamente que
A) o critério de parada para epsilon=0,001 é satisfeito na 10^a iteração.
B) as iterações não convergem para a solução do sistema.
C) a solução do sistema é (-225,67; 695,33; -68,78).

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
2x - 5y + z = 1, 3x - y + 2z = 3, 4x - y - 3z = -1,
pede para aplicar o método de Gauss–Seidel com aproximação inicial (x0,y0,z0)=(0,0,0), realizar 5 iterações e verificar se elas convergem para a solução dentro da tolerância epsilon=0,001. O conteúdo é o método iterativo de Gauss–Seidel para sistemas lineares.

Passo 2

Precisamos isolar x, y e z em cada equação e usar os valores mais recentes:
xk+1 = 1 + 5yk - zk2, yk+1 = 3xk+1 + 2zk - 3, zk+1 = 1 + 4xk+1 - yk+13

Passo 3

Vamos calcular as primeiras cinco iterações, sempre arredondando a três casas decimais:
k=0: (x0,y0,z0)=(0,0,0).
k=1:
x1=tfrac1+5cdot0-02=0,5,
y1=3cdot0,5+2cdot0-3=-1,5,
z1=tfrac1+4cdot0,5-(-1,5)3=1,5
k=2:
x2=tfrac1+5(-1,5)-1,52=-4,000,
y2=3(-4)+2(1,5)-3=-12,000,
z2=tfrac1+4(-4)-(-12)3=-1,000
k=3:
x3=tfrac1+5(-12)-(-1)2=-29,000,
y3=3(-29)+2(-1)-3=-92,000,
z3=tfrac1+4(-29)-(-92)3approx-7,667
k=4:
x4approx-225,667,
y4approx-695,333,
z4approx-68,778
k=5:
x5approx-1703,444,
y5approx-5250,889,
z5approx-520,630

Passo 4

Vemos que as aproximações estão crescendo em módulo a cada iteração, sem se aproximar de nenhum valor fixo. Logo, o método de Gauss–Seidel não converge para a solução do sistema com essa ordem de equações e essa aproximação inicial.

Resposta

B) as iterações não convergem para a solução do sistema.

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