2^circ Questão
Calcule a integral integral0^pi e^2 sen(x) d x pela Regra 1 / 3 de Simpson para 8 subintervalos.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
integral0^pi e^2sen(x),dx
usando a Regra 1/3 de Simpson com 8 subintervalos. Aqui o conteúdo é integração numérica e vamos aplicar a fórmula de Simpson para funções conhecidas em nós igualmente espaçados.

Passo 2

Na Regra 1/3 de Simpson com n subintervalos (aqui n=8, que deve ser par), tomamos
h = b-an = pi-08 = pi8,
e os nós
xi = a + i,h = ipi8, i=0,1,dots,8
A fórmula de Simpson diz
integral0^pi f(x),dx approx h3l[f(x0)+f(x8)+4!sumi ímparf(xi)+2!sumi par,,ineq0,8f(xi)r] í

Passo 3

Vamos calcular f(xi)=e^2sen(xi) para cada i:
1. i=0:
x0=0,;sen(x0)=0,;f0=e^2cdot0=1
2. i=1:
x1=tfracpi8,;sen(x1)approx0,382683,;f1=e^2cdot0,382683approx e^0,765366approx2,15
3. i=2:
x2=tfracpi4,;sen(x2)=tfracraiz22approx0,707107,;f2=e^1,414214approx4,11
4. i=3:
x3=tfrac3pi8,;sen(x3)approx0,923880,;f3=e^1,847759approx6,35
5. i=4:
x4=tfracpi2,;sen(x4)=1,;f4=e^2=7,3891
6. i=5: igual a i=3 por simetria do seno no intervalo
f5approx6,35
7. i=6: igual a i=2, então
f6approx4,11
8. i=7: igual a i=1, então
f7approx2,15
9. i=8:
x8=pi,;sen(pi)=0,;f8=e^0=1

Passo 4

Agora montamos a soma de Simpson:
í
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Resposta

Aproximadamente 13,25.

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