Usando a definição de derivada, encontre a derivada da função no ponto considerado.
f(x)=sen x, x=pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=senx no ponto x=pi2 usando a definição
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
O conteúdo necessário é limite de quociente e identidade trigonométrica para cos h-1.

Passo 2

Aplicando a definição com a=tfracpi2, escrevemos o quociente de diferença:
fl(tfracpi2+hr)-fl(tfracpi2r)h =sen!l(tfracpi2+hr)-sen!l(tfracpi2r)h =cos h - 1h

Passo 3

Para achar
limhto0cos h-1h, usamos a identidade
cos h - 1 = -2,sen^2!l(tfrach2r)
Então
cos h-1h =-2,sen^2!l(tfrach2r)h =-sen!l(tfrach2r),sen!l(tfrach2r)tfrach2
Quando hto0, temos sen!l(tfrach2r)to0 e sen(h2)h2to1, logo o limite vale 0.

Passo 4

Portanto
f'!l(tfracpi2r) =limhto0cos h-1h =0

Resposta

f'!l(tfracpi2r)=0

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