Questão A partir dos dados abaixo
-2 -1 0 1 2
-2 29 30 31 38
Supondo que os dados podem ser ajustados por uma função , determine utilizando o Método dos Mínimos Quadrados o melhor ajuste.

Passo 1

O enunciado fornece os pares de dados
(xi,fi)=(-2,-2),;(-1,29),;(0,30),;(1,31),;(2,38)
e pede o ajuste da forma
phi(x)=alpha1x^2+alpha2e^x
pelo Método dos Mínimos Quadrados.
Isso significa escolher alpha1 e alpha2 que minimizem
S(alpha1,alpha2)=sumi=1^5l(alpha1xi^2+alpha2e^xi-fir)^2
Para resolver, vamos montar as equações normais obtidas igualando a zero as derivadas parciais de S.

Passo 2

As equações normais são
partial Spartial alpha1=0 Longrightarrow sum xi^4,alpha1 ;+;sum xi^2e^xi,alpha2 =sum xi^2fi,
partial Spartial alpha2=0 Longrightarrow sum xi^2e^xi,alpha1 ;+;sum e^2xi,alpha2 =sum fie^xi
Chamando
A=sum xi^4,; B=sum xi^2e^xi,; C=sum e^2xi,; D=sum xi^2fi,; E=sum fie^xi,
o sistema fica
A,alpha1+B,alpha2=D, B,alpha1+C,alpha2=E

Passo 3

Vamos calcular cada soma usando
xi=-2,-1,0,1,2 e
fi=-2,29,30,31,38.
Primeiro, os termos com potências de x:
sum xi^4=(-2)^4+(-1)^4+0^4+1^4+2^4=16+1+0+1+16=34,
sum xi^2fi=4cdot(-2)+1cdot29+0cdot30+1cdot31+4cdot38 =-8+29+0+31+152=204
Agora as somas com exponenciais, usando
eapprox2,7183:
sum e^2xi=e^-4+e^-2+1+e^2+e^4approx0,0183+0,1353+1+7,3891+54,5982 approx63,1409,
sum xi^2e^xi =4e^-2+1e^-1+0+1e^1+4e^2 approx4cdot0,1353+0,3679+2,7183+4cdot7,3891 approx33,1838,
sum fie^xi =-2e^-2+29e^-1+30cdot1+31e^1+38e^2 approx-0,2706+10,6691+30+84,2673+280,4860 approx405,152
Logo
A=34, Bapprox33,1838, Capprox63,1409, D=204, Eapprox405,152

Passo 4

Resolvendo o sistema
34,alpha1+33,1838,alpha2=204, 33,1838,alpha1+63,1409,alpha2=405,152,
o determinante é
De<a=34cdot63,1409-(33,1838)^2approx1045,617
Usando a regra de Cramer,
alpha1 =204cdot63,1409-33,1838cdot405,152De<a approx-0,54,
alpha2 =34cdot405,152-204cdot33,1838De<a approx6,70

Resposta

boxedalpha1approx -0,54, alpha2approx 6,70

Exercícios relacionados