Questão A partir dos dados abaixo
-2 -1 0 1 2
-2 29 30 31 38
Calcule o Polinômio Interpolador de maior grau possível pela Forma de Newton e estime o valor de .

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos (-2,-2), (-1,29), (0,30), (1,31), (2,38) e pede o polinômio interpolador de grau máximo (grau 4) pela forma de Newton, usando diferenças divididas, e em seguida estimar f(1,5).

Passo 2

Vamos montar a tabela de diferenças divididas. Denotando , , , , e :
e a quarta diferença dividida única é

Passo 3

A forma de Newton em torno de x0=-2 é
P4(x)=f[x0] +f[x0,x1](x-x0) +f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1) +f[x0,dots,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2) +f[x0,dots,x4](x-x0)cdots(x-x3)
Substituindo os valores:
P4(x)=-2 +31(x+2) -15(x+2)(x+1) +5(x+2)(x+1)x -1,(x+2)(x+1)x(x-1)

Passo 4

Expandindo e coletando termos, chega-se à forma padrão
P4(x)=-x^4+3x^3+x^2-2x+30

Passo 5

Para estimar em x=1,5 basta substituir:
P4(1,5) =-(1,5)^4+3(1,5)^3+(1,5)^2-2(1,5)+30 =-5,0625+10,125+2,25-3+30 =34,3125

Resposta

O polinômio interpolador é
P4(x)=-x^4+3x^3+x^2-2x+30
e a estimativa em x=1,5 é
P4(1,5)=34,3125

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