Para um circuito RL simples, a lei da tensão de Kirchhoff exige que (se a lei de Ohm for válida)
L d id t+R i=0
em que i é a corrente, L é a indutância e R e a resistência. Se L=1, R=1,5 e i(0)=0,5, encontre a solução aproximada i(0,2) usando h=0,1 utilizando:
Sabendo que a solução analítica do problema é y=0,5 e^-2 t. Analise o erro absoluto dos valores obtidos no item (a) e (b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para um circuito RL (indutância L e resistência R) cuja EDO é
L,didt+R,i=0
com i(t)=0,5,e^-2t , e condição inicial . A ideia é aproximar com passo usando:
(a) Método de Euler explícito
(b) Método de Euler modificado (Heun)
Por fim, comparar com a solução analítica
e calcular o erro absoluto. Para isso precisamos entender EDOs de primeira ordem e como aplicar métodos de passo a passo (Euler e Heun).

Passo 2

Método de Euler explícito
  1. Identificamos in+1=in + h,f(tn,in) .
  2. A fórmula de atualização é
  1. Começando em , :
  • Para :
    .
  • Para ( ):
    .
Logo, pelo Euler explícito .

Passo 3

Método de Euler modificado (Heun)
  1. De novo in+1 = in + h2l[f(tn,in)+f(tn+1,tilde i)r] .
  2. A cada passo fazemos:
    • Predictor: .
    • Corrector:
  3. Passo a passo:
  • :
    .
  • :
    .
Então, pelo Heun .

Passo 4

Solução analítica e erro
A solução exata é
i(0,2)=0,5,e^-2cdot0.2=0,5,e^-0.4approx0,33516
Erros absolutos:
  • Euler explícito:
  • Heun:

Resposta

(a) Euler explícito: , erro≈0,02609
(b) Euler modificado (Heun): , erro≈0,03572

Exercícios relacionados