Em um circuito com voltagem aplicada varepsilon(t) e indutância L, a primeira lei de Kirchhoff fornece a relação
varepsilon(t)=L d id t+R i
onde R é a resistência no circuito e i é a corrente. Suponha que medimos a corrente em vários valores de t e obtivemos
c|ccccc hline$t$ & 1,00 & 1,01 & 1,02 & 1,03 & 1,04 hline$i$ & 3,10 & 3,12 & 3,14 & 3,18 & 3,24 hline 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04
t 3,10 3,12 3,14 3,18 3,24
em que i é medido em segundos, L em amperes, a indutância E(t) é uma constante de 0,98 henries e a resistência é 0,142 ohms. Obtenha uma aproximação da voltagem t=1,00,1,01,1,02,1,03 quando e 1,04 . Finalmente, obtenha uma aproximação para a voltagem total no período de 1 a 1,04 segundos.

Passo 1

Beleza, temos um circuito com uma indutância varepsilon(t)=L,didt+R,i(t), e uma resistência c|ccccc t&1.00&1.01&1.02&1.03&1.04hline i (A)&3.10&3.12&3.14&3.18&3.24 . A 1ª lei de Kirchhoff diz que
integrala^bf(t),dtapprox hl(tfrac12f(t0)+f(t1)+cdots+f(tn-1)+tfrac12f(tn)r)
Nos dados temos:
  • Medidas de em s:
O que a gente precisa fazer:
  1. Aproximar em cada um desses instantes usando diferenças finitas;
  2. Calcular em cada ponto;
  3. Aproximar a “voltagem total” no intervalo usando, por exemplo, a regra do trapézio para .
A gente vai usar:
  • Diferenças para derivada: (e no último ponto, diferença pra trás).
  • Fórmula de Kirchhoff.
  • Regra do trapézio:

Passo 2

Primeiro, fixamos o passo s e aproximamos :
  • em :
  • em :
  • em :
  • em :
  • em (dif. para trás):

Passo 3

Agora aplicamos :

Passo 4

Pra achar a “voltagem total” (ou área sob integral1^1.04varepsilon(t),dt approx 0.01l[tfrac12varepsilon(1.00)+varepsilon(1.01)+varepsilon(1.02)+varepsilon(1.03)+tfrac12varepsilon(1.04)r] ) de 0.01l[0.5cdot2.4002 +2.4030 +4.3659 +6.3316 +0.5cdot6.3401r] =0.01cdot17.4706 =0.1747 Vcdot s a , usamos a regra do trapézio com subintervalos de tamanho :
Substituindo:

Resposta

Voltagem total no período :

Exercícios relacionados