Encontre o polinômio de aproximação por mínimos quadrados de segundo grau para a função , no intervalo .
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Achar o polinômio de grau 2 que melhor aproxima, em mínimos quadrados, a função no intervalo .”
Isso é um problema de Aproximação por Mínimos Quadrados: vamos escolher
e determinar de modo que o erro quadrático seja mínimo. Para isso precisamos montar e resolver o sistema das equações normais, que envolvem integrais de e de .
Passo 2
Teoria rápida: em mínimos quadrados escolhemos coeficientes de tais que o resíduo seja ortogonal a cada monômio . Ou seja,
Isso gera o sistema linear
[
.
]
Do lado esquerdo formamos a matriz com e, do lado direito, o vetor com .
Passo 3
Vamos calcular cada integral de b0=integral0^1sin(pi x),dx =l[-cos(pi x)pir]0^1 =2pi :
O polinômio de grau 2 que melhor aproxima boxed p(x) =l(tfrac12pi-tfrac120pi^3r) +l(-tfrac60pi+tfrac720pi^3r)x +l(tfrac60pi-tfrac720pi^3r)x^2 em em mínimos quadrados é