Encontre o polinômio de aproximação por mínimos quadrados de segundo grau para a função f(x)=sin pi x, no intervalo [0,1].

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Achar o polinômio de grau 2 que melhor aproxima, em mínimos quadrados, a função
p(x)=a0 + a1 x + a2 x^2 no intervalo .”
Isso é um problema de Aproximação por Mínimos Quadrados: vamos escolher
e determinar de modo que o erro quadrático seja mínimo. Para isso precisamos montar e resolver o sistema das equações normais, que envolvem integrais de e de .

Passo 2

Teoria rápida: em mínimos quadrados escolhemos coeficientes de integral0^1 (f(x)-p(x)),x^k,dx = 0, k=0,1,2 tais que o resíduo integral0^1 1cdot1 & integral0^1 xcdot1 & integral0^1 x^2cdot1 integral0^1 1cdot x & integral0^1 xcdot x & integral0^1 x^2cdot x integral0^1 1cdot x^2 & integral0^1 xcdot x^2 & integral0^1 x^2cdot x^2 a0a1a2 = integral0^1 f(x),1,dx integral0^1 f(x),x,dx integral0^1 f(x),x^2,dx seja ortogonal a cada monômio . Ou seja,

Isso gera o sistema linear
[

.
]
Do lado esquerdo formamos a matriz com e, do lado direito, o vetor com .

Passo 3

Vamos calcular cada integral de b0=integral0^1sin(pi x),dx =l[-cos(pi x)pir]0^1 =2pi :
b1=integral0^1 xsin(pi x),dx
b1 =-xcos(pi x)pi|0^1 +integral0^1cos(pi x)pi,dx =1pi
Fazendo integração por partes ( b2=integral0^1 x^2sin(pi x),dx , b2 =1pi-4pi^3 ), obtemos
Integração por partes duas vezes dá

Passo 4

Agora a matriz Mij=integral0^1 x^i+jdx = 1i+j+1, tem entradas
M= 1 & tfrac12 & tfrac13 tfrac12 & tfrac13 & tfrac14 tfrac13 & tfrac14 & tfrac15 , b=2/pi1/pi1/pi-4/pi^3
com . Logo
As equações normais são .

Passo 5

Resolvendo por eliminação (ou inversão), chega-se a
a0=12pi-120pi^3, a1=-60pi+720pi^3, a2=60pi-720pi^3

Resposta

O polinômio de grau 2 que melhor aproxima boxed p(x) =l(tfrac12pi-tfrac120pi^3r) +l(-tfrac60pi+tfrac720pi^3r)x +l(tfrac60pi-tfrac720pi^3r)x^2 em em mínimos quadrados é

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