Encontre a aproximação polinomial por mínimos quadrados linear e quadrática para nos intervalos indicados se: , se .
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A função é
e a gente quer achar duas aproximações por mínimos quadrados contínuos nesse mesmo intervalo:
Um polinômio de grau 1 (linear).
Um polinômio de grau 2 (quadrático).
Conteúdo envolvido: polinômios de mínimos quadrados, normalização por base monomial , cálculo de integrais do tipo e . Não precisa conhecer nada avançado, só integração por partes e resolver sistemas lineares simples.
Passo 2
Primeiro, recapitula o método de mínimos quadrados contínuos:
A gente escolhe um polinômio
e impõe as condições “ortogonais”
Isso gera equações lineares para os coeficientes .
Passo 3
Caso grau 1:
As condições são para e :
Vamos calcular as integrais padrão:
As equações normais viram:
Substituindo:
Faça a subtração das duas linhas para isolar :
Então volta na primeira:
Passo 4
Caso grau 2:
Agora impomos para :
Já temos . Falta
Usando duas integrações por partes dá
E definimos também
As três equações lineares ficam:
É só resolver esse sistema (eliminação de Gauss, por exemplo).
Passo 5
Fazendo a eliminação direitinho você encontra:
a2 = 15e^2-1054, a1 = 111-15e^22, a0 = 3e^2-21
Resposta
Os polinômios de mínimos quadrados em p1(x)=e^2-72 ;+; 3,x são: