Encontre a aproximação polinomial por mínimos quadrados linear e quadrática para f(x) nos intervalos indicados se:
f(x)=e^x, se x in[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede. A função é
f(x)=e^xem [0,2],
e a gente quer achar duas aproximações por mínimos quadrados contínuos nesse mesmo intervalo:
  1. Um polinômio de grau 1 (linear).
  2. Um polinômio de grau 2 (quadrático).
Conteúdo envolvido: polinômios de mínimos quadrados, normalização por base monomial , cálculo de integrais do tipo e . Não precisa conhecer nada avançado, só integração por partes e resolver sistemas lineares simples.

Passo 2

Primeiro, recapitula o método de mínimos quadrados contínuos:
A gente escolhe um polinômio
pn(x)=a0+a1x+dots+anx^n
e impõe as condições “ortogonais”
integral0^2l(e^x - pn(x)r),x^k,dx =0, k=0,1,dots,n
Isso gera equações lineares para os coeficientes .

Passo 3

Caso grau 1:
p1(x)=a0 + a1x
As condições são para I0&=integral0^2 e^x,dx = e^2 - 1, I1&=integral0^2 x,e^x,dx =l[x,e^x - e^xr]0^2 =2e^2 - (e^2 -1) =e^2+1, mu0&=integral0^2 1,dx = 2, mu1=integral0^2 x,dx =2, mu2=integral0^2 x^2,dx = tfrac83 e a0,mu0 + a1,mu1 = I0, a0,mu1 + a1,mu2 = I1 :
  1. 2,a0 + 2,a1 = e^2 - 1, 2,a0 + tfrac83,a1 = e^2 + 1
  2. l(tfrac83-2r)a1 =2 ;Longrightarrow; tfrac23,a1=2 ;Longrightarrow; a1=3
Vamos calcular as integrais padrão:
2a0 +2cdot3 = e^2-1 ;Longrightarrow; 2a0 = e^2-7 ;Longrightarrow; a0 = e^2-72
As equações normais viram:
Substituindo:
Faça a subtração das duas linhas para isolar :
Então volta na primeira:

Passo 4

Caso grau 2:
p2(x)=a0+a1x+a2x^2
Agora impomos para integral0^2l(e^x-p2(x)r),x^k,dx =0 :
I2=integral0^2 x^2,e^x,dx
Já temos I2 = 2e^2 -2 . Falta
mu3=integral0^2 x^3dx=4, mu4=integral0^2 x^4dx=tfrac325
Usando duas integrações por partes dá
2a0 +2a1 +tfrac83a2 = e^2-1, 2a0 +tfrac83a1 +4a2 = e^2+1, tfrac83a0 +4a1 +tfrac325a2 = 2e^2-2
E definimos também
As três equações lineares ficam:
É só resolver esse sistema (eliminação de Gauss, por exemplo).

Passo 5

Fazendo a eliminação direitinho você encontra:
a2 = 15e^2-1054, a1 = 111-15e^22, a0 = 3e^2-21

Resposta

Os polinômios de mínimos quadrados em p1(x)=e^2-72 ;+; 3,x são:
  1. Grau 1:
p2(x)=l(3e^2-21r) ;+;111-15e^22,x ;+;15e^2-1054,x^2
  1. Grau 2:

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