Em um circuito com voltagem impressa \mathcal{E}(\mathrm{t}) e indutância L , a primeira lei de Kirchhoff fornece a relação \mathcal{E}(\mathrm{t})=\frac{d i}{d t}+\mathrm{R} \mathrm{i}, onde R é a resistência do circuito e i a corrente. Suponha que a corrente tenha sido medida para diversos valores de tempo (t) e os resultados obtidos sejam
t 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04
i 79 28 7,9 2,8 3,24
Pergunta-se:
a) Encontre a função exponencial que ajusta os dados da tabela.
b) Identifique a melhor função de ajuste a tabela de dados

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de medidas de corrente em instantes próximos e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a função exponencial que ajusta os dados da tabela;
  • (b) identificar qual é a melhor função de ajuste para a tabela.
Peguei os dados da tabela fornecida:
\begin{array}{c|ccccc} t & 1{,}00 & 1{,}01 & 1{,}02 & 1{,}03 & 1{,}04\\hline i & 79 & 28 & 7{,}9 & 2{,}8 & 3{,}24 \end{array}
Vou ajustar uma função exponencial do tipo \,i(t)=A e^{b t}\, aos dados (transformando para uma regressão linear em logaritmo) e comparar a qualidade do ajuste. A resolução começa por formular o modelo, linearizá-lo e aplicar mínimos quadrados.

Passo 2

Modelo e linearização (a ideia chave).
  • Suponho o modelo exponencial
i(t)=A e^{b t},
com A>0 e b\in\mathbb{R} desconhecidos.
  • Tomando logaritmo natural dos dois lados, defino
y=\ln i,\qquad \alpha=\ln A.
Assim
y=\alpha + b t,
que é um modelo linear em t. Ou seja, se eu ajustar uma reta por mínimos quadrados aos pontos (t,y) obtidos, os coeficientes convertem-se em \alpha e b; depois A=e^{\alpha}.
  • Fórmulas de mínimos quadrados (para y=\alpha + b t, com n pontos):
b=\frac{n\sum t_i y_i - \left(\sum t_i\right)\left(\sum y_i\right)}{n\sum t_i^2 - \left(\sum t_i\right)^2}, \qquad \alpha=\frac{1}{n}\Big(\sum y_i - b\sum t_i\Big).
Aqui t_i e y_i são os dados transformados; vou calcular todos os somatórios necessários.

Passo 3

Calcular y_i=\ln i_i para cada ponto (usei os i diretamente da tabela):
\begin{array}{c|ccccc} t_i & 1{,}00 & 1{,}01 & 1{,}02 & 1{,}03 & 1{,}04\\hline i_i & 79 & 28 & 7{,}9 & 2{,}8 & 3{,}24\\hline y_i=\ln i_i & 4{,}369447852467021 & 3{,}332204510175204 & 2{,}0668627601400077 & 1{,}0296194171812936 & 1{,}1755737701964726 \end{array}

Passo 4

Calcular os somatórios necessários (mostro os valores numéricos que obtive ao somar os t_i,\;y_i,\;t_i^2,\;t_i y_i):
\begin{aligned} n&=5,\\[4pt] \sum t_i &= 1{,}00+1{,}01+1{,}02+1{,}03+1{,}04 = 5{,}10,\\[4pt] \sum y_i &= 4{,}369447852467021+3{,}332204510175204+2{,}0668627601400077+1{,}0296194171812936+1{,}1755737701964726\\\ &\qquad=11{,}973708310159999,\\[4pt] \sum t_i^2 &= 1{,}00^2+1{,}01^2+1{,}02^2+1{,}03^2+1{,}04^2=5{,}2030,\\[4pt] \sum t_i y_i &= 1{,}00\cdot4{,}369447852467021+1{,}01\cdot3{,}332204510175204+1{,}02\cdot2{,}0668627601400077\\\ &\qquad+1{,}03\cdot1{,}0296194171812936+1{,}04\cdot1{,}1755737701964726\\\ &\qquad=12{,}126279143787849. \end{aligned}
Expliquei passo a passo de onde vieram esses números: os \,y_i=\ln i_i foram obtidos tomando o log natural de cada corrente medida (peguei os i_i da tabela).]

Passo 5

Calcular os coeficientes da reta ( \alpha e b) usando as fórmulas de mínimos quadrados:
\begin{aligned} b &= \frac{n\sum t_i y_i - (\sum t_i)(\sum y_i)}{n\sum t_i^2 - (\sum t_i)^2} = \frac{5\cdot 12{,}126279143787849 - 5{,}10\cdot 11{,}973708310159999}{5\cdot 5{,}2030 - (5{,}10)^2}\\[6pt] &= \frac{60{,}631395718939245 - 61{,}065912381815994}{26{,}015 - 26{,}01} = \frac{-0{,}434516662876749}{0{,}005}\\[4pt] &\approx -86{,}90333257534886, \end{aligned}
e
\begin{aligned} \alpha &= \frac{1}{n}\Big(\sum y_i - b\sum t_i\Big) = \frac{11{,}973708310159999 - (-86{,}90333257534886)\cdot 5{,}10}{5}\\[4pt] &= \frac{11{,}973708310159999 + 443{,}2069961342792}{5} \approx 91{,}03614088888784. \end{aligned}]

Passo 6

Converter de volta para o modelo exponencial.
  • Lembre: \alpha=\ln A\Rightarrow A=e^{\alpha}.
  • Logo o ajuste exponencial encontrado é
\boxed{\,i(t)=A e^{b t}=\exp\bigl(\alpha + b t\bigr)=\exp\bigl(91{,}03614088888784 - 86{,}90333257534886\,t\bigr).}
Se quiser escrever A explicitamente:
A=e^{\alpha}\approx e^{91{,}03614088888784}\approx 1{,}20\times 10^{39},
portanto uma outra forma é
i(t)\approx 1{,}20\times 10^{39}\;e^{-86{,}90333257534886\,t}.
(Observação prática: como os tempos t estão muito próximos entre si, a reta em (t,\ln i) tem inclinação numérica grande — isso gera A numericamente muito grande, mas a função resultante avaliada em torno de t\approx1 produz correntes da ordem dos dados.)

Passo 7

Avaliação rápida da qualidade do ajuste e justificativa do tipo de função.
  • Trabalhei no espaço transformado y=\ln i. A regressão linear em (t,y) dá uma reta com coeficiente de determinação (em y) alto: calculando os resíduos em escala logarítmica obtém‑se aproximadamente \mathrm{SSE}\approx 0{,}684 e \mathrm{SST}\approx 8{,}235, o que dá
R^2 \approx 1-\frac{\mathrm{SSE}}{\mathrm{SST}}\approx 1- \frac{0{,}684}{8{,}235}\approx 0{,}917.
  • Esse R^2 (em log‑espaço) indica que cerca de 91{,}7\% da variação de \ln i é explicada por uma relação linear com t, ou seja, os dados seguem bem um padrão exponencial (com alguma dispersão/noise, especialmente no último ponto).
  • Além disso, a própria física do circuito (equação diferencial linear com coeficientes constantes) sugere solução exponencial para regime de descarga/sem forçamento externo, então um ajuste exponencial é coerente do ponto de vista físico e estatístico.
Conclusão: o ajuste exponencial obtido é razoavelmente bom (alto R^2 no espaço logarítmico) e também é o tipo de função esperado para esse tipo de fenômeno.

Resposta

(a) \displaystyle i(t)=\exp\bigl(91{,}03614088888784-86{,}90333257534886\,t\bigr)\approx 1{,}20\times10^{39}\,e^{-86{,}90333257534886\,t}.
(b) A melhor função de ajuste é uma função exponencial do tipo \,i(t)=A e^{b t}\, (o ajuste acima), tanto por ajuste estatístico ( R^2 em \ln i perto de 0{,}917) quanto por coerência com a lei do circuito (solução exponencial).

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