Em um circuito com voltagem impressa
e indutância L , a primeira lei de Kirchhoff fornece a relação
, onde R é a resistência do circuito e i a corrente. Suponha que a corrente tenha sido medida para diversos valores de tempo (t) e os resultados obtidos sejam
t
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
i
79
28
7,9
2,8
3,24
Pergunta-se:
a) Encontre a função exponencial que ajusta os dados da tabela.
b) Identifique a melhor função de ajuste a tabela de dados
| t | 1,00 | 1,01 | 1,02 | 1,03 | 1,04 |
| i | 79 | 28 | 7,9 | 2,8 | 3,24 |
a) Encontre a função exponencial que ajusta os dados da tabela.
b) Identifique a melhor função de ajuste a tabela de dados
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de medidas de corrente em instantes próximos e pede duas coisas:
- (a) encontrar a função exponencial que ajusta os dados da tabela;
- (b) identificar qual é a melhor função de ajuste para a tabela.
Peguei os dados da tabela fornecida:
Vou ajustar uma função exponencial do tipo
aos dados (transformando para uma regressão linear em logaritmo) e comparar a qualidade do ajuste. A resolução começa por formular o modelo, linearizá-lo e aplicar mínimos quadrados.
Passo 2
Modelo e linearização (a ideia chave).
- Suponho o modelo exponencial
com
e
desconhecidos.
- Tomando logaritmo natural dos dois lados, defino
Assim
que é um modelo linear em
. Ou seja, se eu ajustar uma reta por mínimos quadrados aos pontos
obtidos, os coeficientes convertem-se em
e
; depois
.
- Fórmulas de mínimos quadrados (para
, com pontos):
Aqui
e
são os dados transformados; vou calcular todos os somatórios necessários.
Passo 3
Calcular
para cada ponto (usei os
diretamente da tabela):
Passo 4
Calcular os somatórios necessários (mostro os valores numéricos que obtive ao somar os
):
Expliquei passo a passo de onde vieram esses números: os
foram obtidos tomando o log natural de cada corrente medida (peguei os
da tabela).]
Passo 5
Calcular os coeficientes da reta (
e
) usando as fórmulas de mínimos quadrados:
e
Passo 6
Converter de volta para o modelo exponencial.
- Lembre:
. - Logo o ajuste exponencial encontrado é
Se quiser escrever
explicitamente:
portanto uma outra forma é
(Observação prática: como os tempos
estão muito próximos entre si, a reta em
tem inclinação numérica grande — isso gera
numericamente muito grande, mas a função resultante avaliada em torno de
produz correntes da ordem dos dados.)
Passo 7
Avaliação rápida da qualidade do ajuste e justificativa do tipo de função.
- Trabalhei no espaço transformado
. A regressão linear em dá uma reta com coeficiente de determinação (em ) alto: calculando os resíduos em escala logarítmica obtém‑se aproximadamente e , o que dá
- Esse
(em log‑espaço) indica que cerca de da variação de é explicada por uma relação linear com , ou seja, os dados seguem bem um padrão exponencial (com alguma dispersão/noise, especialmente no último ponto). - Além disso, a própria física do circuito (equação diferencial linear com coeficientes constantes) sugere solução exponencial para regime de descarga/sem forçamento externo, então um ajuste exponencial é coerente do ponto de vista físico e estatístico.
Conclusão: o ajuste exponencial obtido é razoavelmente bom (alto
no espaço logarítmico) e também é o tipo de função esperado para esse tipo de fenômeno.
Resposta
(a)
(b) A melhor função de ajuste é uma função exponencial do tipo (o ajuste acima), tanto por ajuste estatístico (
em
perto de
) quanto por coerência com a lei do circuito (solução exponencial).
(b) A melhor função de ajuste é uma função exponencial do tipo