Resolva o seguinte sistema usando os métodos indicados e usando como ponto de partida
\left(\begin{array}{ccccc} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \\\ x_{4} \\\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 12 \\\\ -27 \\\\ 14 \\\\ -17 \\\\ 12 \end{array}\right)
Gauss-Seidel

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O sistema linear dado é
\begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 1 & 9 & -1 & 2 & -3 \\\\ 2 & -1 & 7 & 3 & -5 \\\\ 3 & 2 & 3 & 12 & -1 \\\\ 4 & -3 & -5 & -1 & 15 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\\ x_2\\\ x_3\\\ x_4\\\ x_5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\\\ -27\\\\ 14\\\\ -17\\\\ 12\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede que se resolva o sistema pelo método de Gauss–Seidel.
  • Não foi especificado um palpite inicial; vou tomar como ponto de partida o palpite padrão
\mathbf{x}^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
a menos que o enunciado já tivesse indicado outro ponto (o que não foi informado).

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel e qual fórmula usamos (a ideia prática).
  • Gauss–Seidel é um método iterativo para resolver \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,. A cada iteração atualizamos as componentes de \mathbf{x} uma a uma, usando já os valores novos quando disponíveis (isto é, atualização sequencial).
  • Escrevendo a linha i da forma
a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i,
a fórmula iterativa de Gauss–Seidel é
x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij} x_j^{(k)}\right),
onde os termos com j<i usam os valores já atualizados na iteração k+1 e os termos com j>i usam os valores antigos da iteração k.
  • Em termos práticos: percorre-se i=1,2,\dots,n e aplica-se essa fórmula sequencialmente para obter \mathbf{x}^{(k+1)}.

Passo 3

Condição de convergência e verificação rápida para esta matriz (por que podemos usar Gauss–Seidel com segurança).
  • Um critério simples que garante convergência para Gauss–Seidel é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas ou que A seja simétrica definida positiva. Nossa matriz é simétrica (os elementos fora da diagonal são espelhados), então vale investigar positividade definida.
  • Verificando os menores principais (leading principal minors) iniciais:
    • D_1=\det([10])=10>0.
    • D_2=\det\begin{pmatrix}10&1\\\ 1&9\end{pmatrix}=10\cdot9-1\cdot1=89>0.
    • D_3=\det\begin{pmatrix}10&1&2\\\ 1&9&-1\\\ 2&-1&7\end{pmatrix}=573>0 (cálculo mostrado abaixo): \begin{aligned} D_3 &= 10\det\begin{pmatrix}9&-1\\\ -1&7\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&-1\\\ 2&7\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1&9\\\ 2&-1\end{pmatrix}\\[4pt] &=10(9\cdot7-(-1)\cdot(-1)) -1(1\cdot7-(-1)\cdot2) +2(1\cdot(-1)-9\cdot2)\\[4pt] &=10(63-1) -1(7+2) +2(-1-18) =10\cdot62 -9 +2\cdot(-19)=620-9-38=573. \end{aligned}
  • Como os menores principais iniciais são positivos e a matriz é simétrica, isso indica que A é definida positiva (isto pode ser confirmado por critérios apropriados). Para matrizes simétricas definidas positivas, o método de Gauss–Seidel converge para a solução única. Portanto, Gauss–Seidel é apropriado aqui.]

Passo 4

Preparação prática: escrevendo explicitamente as equações e a forma de atualização usada nos cálculos.
  • As cinco equações (escritas isoladamente) são:
\begin{aligned} 10x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 + 4x_5 &= 12,\\\ x_1 + 9x_2 - x_3 + 2x_4 - 3x_5 &= -27,\\\\ 2x_1 - x_2 + 7x_3 + 3x_4 - 5x_5 &= 14,\\\\ 3x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 12x_4 - x_5 &= -17,\\\\ 4x_1 - 3x_2 -5x_3 - x_4 + 15x_5 &= 12. \end{aligned}
  • As fórmulas de atualização (Gauss–Seidel) usadas em cada passo k\to k+1 são, para i=1,\dots,5:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \dfrac{1}{10}\bigl(12 - x_2^{(\text{usado})} -2x_3^{(\text{usado})} -3x_4^{(\text{usado})} -4x_5^{(\text{usado})}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \dfrac{1}{9}\bigl(-27 - x_1^{(k+1)} + x_3^{(\text{usado})} -2x_4^{(\text{usado})} +3x_5^{(\text{usado})}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \dfrac{1}{7}\bigl(14 -2x_1^{(k+1)} + x_2^{(k+1)} -3x_4^{(\text{usado})} +5x_5^{(\text{usado})}\bigr),\\[4pt] x_4^{(k+1)} &= \dfrac{1}{12}\bigl(-17 -3x_1^{(k+1)} -2x_2^{(k+1)} -3x_3^{(k+1)} + x_5^{(\text{usado})}\bigr),\\[4pt] x_5^{(k+1)} &= \dfrac{1}{15}\bigl(12 -4x_1^{(k+1)} +3x_2^{(k+1)} +5x_3^{(k+1)} + x_4^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
  • Observação sobre o termo “usado”: em cada atualização o termo usado para x_j é o valor mais recente disponível (se j<i usa-se x_j^{(k+1)}, se j>i usa-se x_j^{(k)}).]

Passo 5

Execução prática do método — primeiras iterações (para aprender a fazer na prova). Começo com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0,0)^T.
Vou mostrar as contas completas das primeiras iterações (arredondando para conveniência quando necessário), para que se veja exatamente como proceder na prova.
Iteração 1 ( \mathbf{x}^{(0)}\to\mathbf{x}^{(1)}):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1}{10}(12-0-0-0-0)=\frac{12}{10}=1{,}2,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{1}{9}\bigl(-27 -1{,}2\bigr)=-\frac{28{,}2}{9}\approx -3{,}1333333,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \frac{1}{7}\bigl(14 -2\cdot1{,}2 +(-3{,}1333333)\bigr)\approx 1{,}20952381,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \frac{1}{12}\bigl(-17 -3\cdot1{,}2 -2(-3{,}1333333) -3\cdot1{,}20952381\bigr)\approx -1{,}49682540,\\[4pt] x_5^{(1)} &= \frac{1}{15}\bigl(12 -4\cdot1{,}2 +3(-3{,}1333333) +5\cdot1{,}20952381 +(-1{,}49682540)\bigr)\approx 0{,}15671958. \end{aligned}
Iteração 2 ( \mathbf{x}^{(1)}\to\mathbf{x}^{(2)}) — aqui uso os x_i^{(1)} já calculados quando necessários:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &\approx 1{,}6577883598,\\[4pt] x_2^{(2)} &\approx -2{,}6649394473,\\[4pt] x_3^{(2)} &\approx 1{,}8990797011,\\[4pt] x_4^{(2)} &\approx -1{,}8486671426,\\[4pt] x_5^{(2)} &\approx 0{,}3347173055. \end{aligned}
Iteração 3 ( \mathbf{x}^{(2)}\to\mathbf{x}^{(3)}):
\begin{aligned} x_1^{(3)} &\approx 1{,}5073912251,\\[4pt] x_2^{(3)} &\approx -2{,}4340917025,\\[4pt] x_3^{(3)} &\approx 2{,}2529584003,\\[4pt] x_4^{(3)} &\approx -1{,}9231780138,\\[4pt] x_5^{(3)} &\approx 0{,}5339848653. \end{aligned}
Observação didática: nas contas de cada componente, execute a soma dos termos conhecidos primeiro (sem arredondar muito) e só no final arredonde o resultado que você vai usar; na prova é aceitável arredondar com 4–6 casas decimais para acompanhar a convergência.]

Passo 6

Continuação das iterações até observar convergência e percepção do resultado exato.
  • Eu continuei o processo (mantendo a regra de atualizar sequencialmente e usando aproximações com algumas casas decimais) e observei que a sequência \mathbf{x}^{(k)} aproxima-se rapidamente de um vetor cujas componentes são números inteiros simples.
  • As iterações sucessivas produzem a aproximação (mostrando alguns iterados intermediários já próximos da solução):
\begin{aligned} \mathbf{x}^{(5)} &\approx \begin{pmatrix}1{,}2451\\\\ -2{,}2016\\\\ 2{,}6513\\\\ -1{,}9672\\\\ 0{,}7803\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}^{(10)}\approx \begin{pmatrix}1{,}0369\\\\ -2{,}0303\\\\ 2{,}9476\\\\ -1{,}9951\\\\ 0{,}9670\end{pmatrix},\\[4pt] \mathbf{x}^{(15)} &\approx \begin{pmatrix}1{,}0055\\\\ -2{,}0046\\\\ 2{,}9921\\\\ -1{,}9993\\\\ 0{,}9950\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}^{(20)}\approx \begin{pmatrix}1{,}0008\\\\ -2{,}0007\\\\ 2{,}9988\\\\ -1{,}9999\\\\ 0{,}9993\end{pmatrix}. \end{aligned}
  • A partir do comportamento numérico e também por verificação direta (substituição), nota-se que o vetor exato candidato
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}1\\\\ -2\\\\ 3\\\\ -2\\\\ 1\end{pmatrix}
satisfa z exatamente o sistema. Verificação (substituir em A\mathbf{x}):
\begin{aligned} \text{linha 1: }&10\cdot1 +1\cdot(-2)+2\cdot3 +3\cdot(-2)+4\cdot1 = 10-2+6-6+4=12,\\[4pt] \text{linha 2: }&1\cdot1 +9\cdot(-2)-1\cdot3 +2\cdot(-2)-3\cdot1 = 1-18-3-4-3 = -27,\\[4pt] \text{linha 3: }&2\cdot1 -1\cdot(-2)+7\cdot3 +3\cdot(-2)-5\cdot1 = 2+2+21-6-5=14,\\[4pt] \text{linha 4: }&3\cdot1 +2\cdot(-2)+3\cdot3 +12\cdot(-2)-1\cdot1 = 3-4+9-24-1=-17,\\[4pt] \text{linha 5: }&4\cdot1 -3\cdot(-2)-5\cdot3 -1\cdot(-2)+15\cdot1 = 4+6-15+2+15=12. \end{aligned}
  • Como as substituições nas cinco equações reproduzem exatamente os termos do vetor \mathbf{b}, o vetor acima é a solução exata do sistema.
  • Conclusão prática: Gauss–Seidel, partindo de \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{0}, gera uma sequência que converge para \mathbf{x}=(1,-2,3,-2,1)^T. Na prova, se for pedido apenas o resultado final, pode-se mostrar algumas iterações e depois verificar (substituir) que o vetor candidato satisfaz o sistema.]

Resposta

x_{1}=1
x_{2}=-2
x_{3}=3
x_{4}=-2
x_{5}=1

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