a menos que o enunciado já tivesse indicado outro ponto (o que não foi informado).
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel e qual fórmula usamos (a ideia prática).
Gauss–Seidel é um método iterativo para resolver \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}\,. A cada iteração atualizamos as componentes de \mathbf{x} uma a uma, usando já os valores novos quando disponíveis (isto é, atualização sequencial).
onde os termos com j<i usam os valores já atualizados na iteração k+1 e os termos com j>i usam os valores antigos da iteração k.
Em termos práticos: percorre-se i=1,2,\dots,n e aplica-se essa fórmula sequencialmente para obter \mathbf{x}^{(k+1)}.
Passo 3
Condição de convergência e verificação rápida para esta matriz (por que podemos usar Gauss–Seidel com segurança).
Um critério simples que garante convergência para Gauss–Seidel é que A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas ou que A seja simétrica definida positiva. Nossa matriz é simétrica (os elementos fora da diagonal são espelhados), então vale investigar positividade definida.
Verificando os menores principais (leading principal minors) iniciais:
Como os menores principais iniciais são positivos e a matriz é simétrica, isso indica que A é definida positiva (isto pode ser confirmado por critérios apropriados). Para matrizes simétricas definidas positivas, o método de Gauss–Seidel converge para a solução única. Portanto, Gauss–Seidel é apropriado aqui.]
Passo 4
Preparação prática: escrevendo explicitamente as equações e a forma de atualização usada nos cálculos.
Observação sobre o termo “usado”: em cada atualização o termo usado para x_j é o valor mais recente disponível (se j<i usa-se x_j^{(k+1)}, se j>i usa-se x_j^{(k)}).]
Passo 5
Execução prática do método — primeiras iterações (para aprender a fazer na prova). Começo com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0,0,0)^T.
Vou mostrar as contas completas das primeiras iterações (arredondando para conveniência quando necessário), para que se veja exatamente como proceder na prova.
Observação didática: nas contas de cada componente, execute a soma dos termos conhecidos primeiro (sem arredondar muito) e só no final arredonde o resultado que você vai usar; na prova é aceitável arredondar com 4–6 casas decimais para acompanhar a convergência.]
Passo 6
Continuação das iterações até observar convergência e percepção do resultado exato.
Eu continuei o processo (mantendo a regra de atualizar sequencialmente e usando aproximações com algumas casas decimais) e observei que a sequência \mathbf{x}^{(k)} aproxima-se rapidamente de um vetor cujas componentes são números inteiros simples.
As iterações sucessivas produzem a aproximação (mostrando alguns iterados intermediários já próximos da solução):
Como as substituições nas cinco equações reproduzem exatamente os termos do vetor \mathbf{b}, o vetor acima é a solução exata do sistema.
Conclusão prática: Gauss–Seidel, partindo de \mathbf{x}^{(0)}=\mathbf{0}, gera uma sequência que converge para \mathbf{x}=(1,-2,3,-2,1)^T. Na prova, se for pedido apenas o resultado final, pode-se mostrar algumas iterações e depois verificar (substituir) que o vetor candidato satisfaz o sistema.]